Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 1.

Encontre o vetor normal para a curva plana

r t = t   i + ln ⁡ c o s t   j ,   - π 2 ≤ t < π 2

Passo 1

Bom, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente:

v t → = r ' ( t ) = 1 ,   - s e n   t cos ⁡ t = ( 1 , - t g   t )

v t → = 1 2 + - t g   t 2 = 1 + t g ² t = s e c ² t = | sec ⁡ t |

Como - π 2 ≤ t < π 2 , temos que sec ⁡ t > 0 , portanto podemos desprezar o módulo

v → t = sec ⁡ t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Dividir o vetor tangente pelo seu módulo para encontrar o vetor tangente unitário:

T → t = v t → v t → = ( 1 , - t g   t ) sec ⁡ t = 1 sec ⁡ t , - t g   t sec ⁡ t = ( cos ⁡ t ,   - s e n   t )  

Passo 3

Agora derivamos o vetor tangente unitário:

T → ' t = ( - s e n   t ,   - cos ⁡ t )

E calculamos seu módulo:

T → ' t = - s e n   t 2 + - cos ⁡ t 2 = s e n 2 t + c o s 2 t = 1

Passo 4

Fim da questão: é só substituir na fórmula:

N → = T → ' t T → ' t

N → = ( - s e n   t ,   - cos ⁡ t ) 1 = ( - s e n   t ,   - cos ⁡ t )

Resposta

N → = ( - s e n   t ,   - cos ⁡ t )

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