Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 5

Encontre um vetor normal à curva r t = cos t + t . sen t i + sen t - t . cos t j + 3 k

  1. - sen t - cos t i + cos t j
  2. - sen t i + cos t j + k
  3. - sen t i + cos t j - k
  4. ( - sen t ) i - cos t j
  5. - sen t i + cos t j

Passo 1

Concorda que se o nosso vetor vai ser normal à curva ele também precisa ser normal ao vetor tangente à curva? Isso quer dizer que nossa resolução vai ter dois passos:

  1. Achar o vetor tangente à curva.
  2. Achar o vetor perpendicular ao vetor tangente.

Então vamos lá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A gente sabe encontrar um vetor tangente a uma curva. É só calcular a derivada da função r t . Para isso, precisamos derivar cada uma das componentes.

Na componente x , vamos ter que usar a regra do produto:

d d t cos t + t . sen t = d d t cos t + d d t t . sen t = - sen t + sen t + t . c o s ( t )

d d t cos t + t . sen t = t . c o s ( t )

E o mesmo acontece na componente y :

d d t sen t - t . cos t = d d t sen t - d d t t . cos t = cos t - cos t + t . s e n ( t )

d d t sen t - t . cos t = t . s e n ( t )

A componente z é mais fácil:

d d t 3 = 0

Ou seja, nosso vetor tangente é:

V ( t ) = ( t . cos t , t . sen t , 0 )

Passo 3

Agora como podemos fazer para achar um vetor normal a esse? Matematicamente, qual é a melhor forma de verificar que dois vetores são normais um ao outro? Exigir que o produto interno seja nulo!

Lembrando que o produto interno de dois vetores é calculado assim:

x 1 , y 1 , z 1 . x 2 , y 2 , z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Ou seja, estamos em busca de um vetor ( x , y , z ) que atenda a seguinte exigência:

x , y , z . t . cos t , t . sen t , 0 = 0

Aplicando a fórmula do produto interno:

x t . cos t + y t . sen t = 0

Passo 4

Ok, agora nós sabemos que a condição para que um vetor seja normal à curva é:

x t . cos t + y t . sen t = 0

Como o enunciado pediu “um vetor”, sem especificar em qual ponto, vamos supor que t 0 para podermos dividir tudo por t :

x . cos t + y . sen t = 0

x . cos t = - y . s e n ( t )

Uma solução bem clara para essa equação é:

x = - s i n ( t )

y = c o s ( t )

E isso é justamente o que está na letra (e), portanto vai ser a nossa resposta. Se você não percebeu essa solução logo de cara não tem problema, você pode ir testando as opções para ver qual delas atende à condição!

Resposta

Letra (e).

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas