Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 44

Encontre um vetor normal à curva r t = e t cos t i + e t sen t j + 2 k .

Passo 1

Para encontrar um vetor normal a uma curva, temos que seguir os seguintes passos: (1) Encontrar o vetor velocidade (tangente) da curva e (2) encontrar o vetor perpendicular à velocidade usando produto interno.

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Passo 2

Começando com o vetor velocidade. Para encontrá-lo, precisamos achar a derivada do vetor r t :

v t = d d t r t

Para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma das componentes:

v t = d d t ( e t cos t , e t sen t , 2 )

v t = ( d d t e t cos t , d d t e t sen t , d d t 2 )

A componente z é mais fácil de derivar. Como 2 é uma constante, sua derivada é zero:

v t = ( d d t e t cos t , d d t e t sen t , 0 )

Nas outras duas derivadas, precisamos usar a regra do produto. Começando com x :

d d t e t cos t = e t d d t cos t + cos t d d t ( e t )

d d t e t cos t = e t - sen t + cos t e t = e t ( cos t - sen t )

E agora y :

d d t e t sen t = e t d d t sen t + sen t d d t ( e t )

d d t e t sen t = e t cos t + sen t e t = e t ( sen t + cos t )

Então nosso vetor velocidade é:

v t = e t cos t - sen t   ,   e t sen t + cos t   ,   0

Passo 3

Ok, achamos o vetor velocidade. Agora como fazemos para encontrar o vetor normal a ele?

Talvez você se lembre das suas aulas de geometria analítica, que dois vetores são normais um ao outro quando seu produto interno é nulo. Lembra como se calcula o produto interno entre dois vetores?

x 1 , y 1 , z 1 . x 2 , y 2 , z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Então vamos calcular o produto interno entre o vetor velocidade e um vetor qualquer, e exigir que o produto interno seja zero:

x , y , z . e t cos t - sen t   ,   e t sen t + cos t   ,   0 = 0

x e t cos t - sen t + y e t sen t + cos t + z 0 = 0

e t sen t y - x + cos t y + x = 0

Como e t é sempre diferente de zero, podemos dividir por e t dos dois lados:

sen t y - x + cos t y + x = 0

x cos t - sen t = - y cos t + sen t

Beleza, essa é a condição para que um vetor qualquer seja normal à curva em um ponto t .

Passo 4

Agora vamos montar uma fórmula geral para esse vetor normal.

Nossa condição não faz nenhuma exigência em relação ao valor de z , então podemos fixar qualquer valor para ele. Por exemplo, z = 2 .

Só temos exigências em relação a x e y , que devem manter uma certa relação entre eles:

x cos t - sen t = - y cos t + sen t

x = - y cos t + sen t cos t - sen t

Qualquer par de valores serve, desde que siga essa condição. Podemos fixar um valor qualquer para o y , e teremos definido o x . Se escolhermos, por exemplo, y = 1 , nosso vetor normal será:

- cos t + sen t cos t - sen t , 1,2

Em qualquer ponto t !

Esse é um vetor normal à curva, mas existem infinitas possibilidades! É só ir ajustando as constantes que nós escolhemos arbitrariamente.

Resposta

O vetor - cos t + sen t cos t - sen t , 1,2 é normal à curva r t em qualquer ponto t .

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