Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 28

Encontre um vetor normal à curva r t = cos t + t sen t i + sen t - t cos t j + 3 k

  1. - sen t i - cos t j
  2. - sen t i + cos t j - k
  3. - sen t - cos t i + cos t j
  4. - sen t i + cos t j
  5. - sen t i + cos t j + k

Passo 1

Lembre so seguinte, quando queremos achar um vetor normal a uma curva, precisamos na verdade achar um vetor normal à tangente da curva!

Mas quem é a tangente de uma curva r t ? Exatamente, é o vetor velocidade dela!

v t = d d t r t

v t = d d t cos t + t sen t i + sen t - t cos t j + 3 k

Lembrando que para derivar um vetor, nós precisamos derivar cada uma das componentes!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então calcular essas três derivadas em relação a t :

d d t r x = d d t cos t + t . sen t = d d t cos t + d d t t . sen t

A primeira podemos fazer direto, mas a segunda exige a aplicação da regra do produto:

d d t cos t + d d t t . sen t = - sen t + t d d t sen t + sen t d d t t = - sen t + t cos t + sen t

d d t r x = t cos t

Agora vamos fazer uma coisa bem parecida para a componente y :

d d t r y = d d t sen t - t cos t = d d t s en t - d d t t . cos t

d d t sen t - d d t t cos t = cos t - t d d t cos t - cos t d d t t = cos t + t sen t - cos t

d d t r y = t sen t

E a componente z :

d d t r z = d d t 3 = 0

Então nosso vetor velocidade é:

v t = t cos t , t sen t , 0

O vetor normal à curva precisa ser normal a esse vetor! Em outras palavras, o produto interno do vetor normal com v t precisa ser zero!

Passo 3

Vamos expressar então essa condição para o vetor normal n :

n v = 0

n x , n y , n z t cos t ,   t sen t , 0 = 0

n x ( t cos t ) + n y   ( t sen t ) = 0

Existem infinitos vetores que atendem essa exigência, então se quisermos responder a questão precisamos ver qual das opções que foram dadas serve.

Se a resposta não for clara pra você, não tem estresse, pode testar uma por uma.

Só pra ficar bem provado, vamos ver que a letra (d) é a que funciona. Nesse caso:

n x = - sen t

n y = cos t

Então:

n x t cos t + n y   t sen t = - sen t t cos t + cos t t sen t = 0

Ou seja, o produto interno realmente dá zero, e esse vetor realmente é normal à curva!

Resposta

Letra (d).

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