Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

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Enunciado

Encontre um vetor normal à curva r t → = cos ⁡ t + t . sen ⁡ t i + sen ⁡ t - t . cos ⁡ t j + 3 k

  1. - sen ⁡ t - cos ⁡ t i + cos ⁡ t j
  2. - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j + k
  3. - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j - k
  4. ( - sen ⁡ t ) i - cos ⁡ t j
  5. - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j

Passo 1

Concorda que se o nosso vetor vai ser normal à curva ele também precisa ser normal ao vetor tangente à curva? Isso quer dizer que nossa resolução vai ter dois passos:

  1. Achar o vetor tangente à curva.
  2. Achar o vetor perpendicular ao vetor tangente.

Então vamos lá.

Passo 2

A gente sabe encontrar um vetor tangente a uma curva. É só calcular a derivada da função r t → . Para isso, precisamos derivar cada uma das componentes.

Na componente x , vamos ter que usar a regra do produto:

d d t cos ⁡ t + t . sen ⁡ t = d d t cos ⁡ t + d d t t . sen ⁡ t = - sen ⁡ t + sen ⁡ t + t . c o s ⁡ ( t )

d d t cos ⁡ t + t . sen ⁡ t = t . c o s ⁡ ( t )

E o mesmo acontece na componente y :

d d t sen ⁡ t - t . cos ⁡ t = d d t sen ⁡ t - d d t t . cos ⁡ t = cos ⁡ t - cos ⁡ t + t . s e n ⁡ ( t )

d d t sen ⁡ t - t . cos ⁡ t = t . s e n ⁡ ( t )

A componente z é mais fácil:

d d t 3 = 0

Ou seja, nosso vetor tangente é:

V ( t ) → = ( t . cos ⁡ t , t . sen ⁡ t , 0 )

Passo 3

Agora como podemos fazer para achar um vetor normal a esse? Matematicamente, qual é a melhor forma de verificar que dois vetores são normais um ao outro? Exigir que o produto interno seja nulo!

Lembrando que o produto interno de dois vetores é calculado assim:

x 1 , y 1 , z 1 . x 2 , y 2 , z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Ou seja, estamos em busca de um vetor ( x , y , z ) que atenda a seguinte exigência:

x , y , z . t . cos ⁡ t , t . sen ⁡ t , 0 = 0

Aplicando a fórmula do produto interno:

x t . cos ⁡ t + y t . sen ⁡ t = 0

Passo 4

Ok, agora nós sabemos que a condição para que um vetor seja normal à curva é:

x t . cos ⁡ t + y t . sen ⁡ t = 0

Como o enunciado pediu “um vetor”, sem especificar em qual ponto, vamos supor que t ≠ 0 para podermos dividir tudo por t :

x . cos ⁡ t + y . sen ⁡ t = 0

x . cos ⁡ t = - y . s e n ⁡ ( t )

Uma solução bem clara para essa equação é:

x = - s i n ⁡ ( t )

y = c o s ⁡ ( t )

E isso é justamente o que está na letra (e), portanto vai ser a nossa resposta. Se você não percebeu essa solução logo de cara não tem problema, você pode ir testando as opções para ver qual delas atende à condição!

Resposta

Letra (e).

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