Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 7.

  1. Mostre que n t = - g ' t i + f ' t j e - n t = g ' t i - f ' t j são ambas normais à curva r t = f t i + g t j no ponto ( f t , g t ) .
  2. Para obter N para uma curva plana em particular, podemos escolher n e - n do item (a) que aponta para o lado côncavo da curva e torna-lo um vetor unitário. Aplique esse método para encontrar N para as curvas a seguir:

  3. r t = t   i + e 2 t   j  
  4. r t = 4 - t 2   i + t   j   ,   - 2 t 2

Passo 1

Para demonstrar o que ele quer, podemos pensar assim: pela curva, podemos obter o vetor tangente. Se esse vetor for normal a curva o produto escalar deve ser zero!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa que fazemos é encontrar o vetor tangente:

v t = r ' t = f ' t , g ' t

Agora vamos calcular o produto escalar

n t v t = - g ' t i + f ' t j f ' t i + g ' t j = - g ' t f ' t + f ' t g ' t = 0

Beleza, agora a gente sabe que n ( t ) é realmente normal a curva.

Passo 3

Agora para - n ( t ) observa só uma coisa:

- n t v t = - n t v t = - 0 = 0

Ou seja, esse produto escalar também dá zero! Então, - n ( t ) também é normal a curva.

Passo 4

Nas letras b e c vamos escolher n t = - g ' t i + f ' t j . Temos:

b ) f t = t e g t = e 2 t f ' t = 1 e g ' t = 2 e 2 t

Logo,

n t = - 2 e 2 t i + 1 j

c )   f t = 4 - t 2   e g t = t f ' t = - t 4 - t 2   e g ' t = 1

Logo,

n t = - 1 i - t 4 - t 2 j

Passo 5

Agora, precisamos torna-los vetores unitários:

b )   n t = - 2 e 2 t 2 + 1 2 = 4 e 4 t + 1

N = n t n t = - 2 e 2 t i + 1 j 4 e 4 t + 1 = - 2 e 2 t i 4 e 4 t + 1 + 1 j 4 e 4 t + 1

c )   n t = - 1 2 + - t 4 - t 2 2 = 1 + t 2 4 - t 2 = 2 4 - t 2

N = n t n t = - 1 i - t 4 - t 2 j 2 4 - t 2 = - 1 2 ( 4 - t 2 i + t   j )

Resposta

b ) N = - 2 e 2 t i 4 e 4 t + 1 + 1 j 4 e 4 t + 1

c ) N = - 1 2 ( 4 - t 2 i + t   j )

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