Exercícios Resolvidos de Vetores e Espaço Vetorial

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Enunciado

Ache a distância entre os pontos P = 2 ,   - 3 ,   1 e Q = - 1 ,   4 ,   5 .

Passo 1

Vamos que vamos?!

Boa galera, a norma representa a distância entre dois pontos, neste caso P e Q !

Quando o vetor vai da origem até um ponto qualquer, a norma é simplesmente:

V = x 2 + y 2 + z 2

Agora, quando o vetor não parte da origem 0 ,   0 ,   0 , mas sim de outro ponto conhecido, podemos escrever a norma como a distância entre esses dois pontos. Para isso faremos:

V = x Q - x P 2 + y Q - y P 2 + z Q - z P 2

Então, vamos separar as coordenadas de cada vetor. olhando os vetores P e Q , temos:

P = 2 ,   - 3 ,   1

x P = 2

y P = - 3

z P = 1

E Q = - 1 ,   4 ,   5

x Q = - 1

y Q = 4

z Q = 5

Agora, colocando na fórmula da norma:

V = x Q - x P 2 + y Q - y P 2 + z Q - z P 2

V = - 1 - 2 2 + 4 - - 3 2 + 5 - 1 2

Vamos resolver os parênteses primeiro:

V = - 3 2 + 7 2 + 4 2

Agora elevamos cada um ao quadrado:

V = 9 + 49 + 16

E por fim, fazemos a soma:

V = 74

E assim chegamos a nossa resposta final. Então a distância entre os pontos P e Q é igual a 74 .

Resposta

V = 74

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(a) S = {O, (1/ √2, −1/√2), (1/√2, 1/√2)} e P = (1, 3);