Exercícios Resolvidos de Vetores e Espaço Vetorial

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Enunciado

Encontre o produto escalar entre os vetores u e v , mostrados na Figura :

Passo 1

E para fechar com chave de ouro vamos fazer mais uma!!

O produto escalar entre dois vetores pode ser calculado como:

V ∙ U = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3

Mas, no nosso caso, temos o ângulo de 45° ali. Então o produto escalar pode ser calculado levando em consideração esse ângulo, através da expressão:

V ∙ U = V U . cos ⁡ θ

Veja que devemos fazer o módulo de um, vezes o módulo do outro, vezes o cosseno do ângulo entre eles.

Vamos começar lembrando a fórmula do módulo?

V = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

U = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2

  • Para V = 0,2 , 2
  • Substituindo:

    V = 0 2 + 2 2 + 2 2 =

    4 + 4 = 8

    Podemos simplificar a raiz de oito, lembrando que 8 = 2.2 . 2 = 2 2 . 2

    2 2 . 2

    Com isso, o 2 2 que está dentro da raiz, pode sair da raiz, ficando:

    = 2 2

    E esse é o módulo de V

  • Agora vamos fazer o módulo de U = 0,0 , 1

U = 0 2 + 0 2 + 1 2

= 1 = 1

Passo 2

Agora vamos colocar tudo que descobrimos na expressão do produto escalar.

Se o ângulo entre os vetores é 45 ° :

V ∙ U = V U . cos ⁡ θ

V ∙ U = 2 2 1 . cos ⁡ 45 °

Aqui precisaremos substituir o cosseno de 45 ° , que vale 1 2

Ficando com:

V ∙ U = 2 2 . 1 .

Note que temos 2 multiplicando e dividindo, então vamos cortar, ficando só com:

V ∙ U = 2

E assim, encontramos nosso produto escalar!

Passo 3

Que tal fazer o teste com a outra fórmula só para ver no que dá?

V ∙ U = ( 0,2 , 2 ) ∙ ( 0,0 , 1 )

= 2 ∙ 0 + 2 ∙ 0 + 2 ∙ 1

V ∙ U = 2

Igualzinho, não é?

Então vocês podem usar as duas formas, cabe a você avaliar qual será melhor para cada situação!!

E assim nós chegamos ao fim de mais uma seção!!

Resposta

V ∙ U = 2

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