Exercícios Resolvidos de Vetores e Espaço Vetorial

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Enunciado

Determine as componentes do vetor V que tem um representante com ponto inicial P 5 2 ,   1 ,   2 e ponto final Q 0 , 5 2 , 5 2 .

Passo 1

Vamos para mais uma meus queridos?!

Aqui na álgebra os vetores devem sair da origem e chegar até o ponto de interesse, certo? Mas nem sempre isso acontece!!

Muitas vezes, como aqui, o vetor sai de um ponto P e vai para Q , e nós escrevemos como:

V = P Q →

E agora?

Como faremos para achar o vetor V propriamente dito?

Basta fazermos uma subtração de vetores:

v = Q - P

Mas Atenção! Aqui temos que ter cuidado com a ordem, vamos fazer o ponto final menos o inicial. Se trocarmos a ordem, nosso vetor ficará representado com sentido contrário, se tornando outro vetor, diferente do que a gente estava procurando.

Passo 2

Então galerinha, os vetores podem ser escritos como matriz coluna, ou seja:

P = 5 2 1 2

Q = 0 5 2 5 2

Onde o primeiro elemento da matriz indica a coordenada x , o segundo a coordenada y e o terceiro a coordenada z ! Então, temos um vetor no espaço tridimensional, R 3 !

Colocando na subtração:

V = 0 5 2 5 2 - 5 2 1 2

Para resolver nós precisamos subtrair o primeiro elemento da matriz coluna P lá do primeiro elemento de Q , e assim por diante!

V = 0 - 5 2 5 2 - 1 5 2 - 2

Como temos subtrações com frações aí no meio das operações, temos que colocar os números no mesmo denominador. Pra isso, colocamos o 1 embaixo dos números inteiros e multiplicamos em cima e embaixo pelo denominador da fração que estiver sendo calculada com ele.

V = 0 1 - 5 2 5 2 - 1 1 5 2 - 2 1

V = 0 1 × 2 2 - 5 2 5 2 - 1 1 × 2 2 5 2 - 2 1 × 2 2

V = 0 2 - 5 2 5 2 - 2 2 5 2 - 4 2

Agora que já estão com o mesmo denominador, podemos resolver em cima e repetir embaixo, ficando com:

V = - 5 2 3 2 1 2

E por fim, encontramos nossa resposta. Bora seguir?

Resposta

V = - 5 2 3 2 1 2

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(a) S = {O, (1/ √2, −1/√2), (1/√2, 1/√2)} e P = (1, 3);