Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da curva

y = 1 x sen ⁡ π x ,         x   ∈ 1 , + ∞ ,

Em torno do eixo x .

Passo 1

Cara, essa função é estranhíssima, não vou perder tempo tentando fazer seu desenho. Agora, eu sei que estou girando em torno do eixo x , então vou usar o método das seções transversais torcendo que esse método realmente resolva numa integral que não seja impossível de ser feita:

V = ∫ 1 + ∞ π 1 x sen ⁡ π x 2 d x = ∫ 1 + ∞ π sen ⁡ π x x 2 d x

Tem que se ligar agora em duas coisas: que essa integral é imprópria; e que a derivada de 1 x é um múltiplo de 1 x 2 . Ué, e por que eu disse isso?

u = π x     ;     d u = - π x 2 d x → d x x 2 = - 1 π d u

Essa substituição vai simplificar bastante a nossa integral! Mas não pode esquecer de mudar os limites de integração também:

u i n f = π 1 = π     ;     u i n f = π ∞ = 0

π ∫ 1 + ∞ sen ⁡ π x d x x 2 = π ∫ π 0 sen ⁡ u - 1 π d u

Passo 2

Resolvendo esse cara, olha como fica:

π - 1 π ∫ π 0 sen ⁡ u d u

= - ∫ π 0 sen ⁡ u d u

= ∫ 0 π sen ⁡ u d u

= - cos ⁡ u [ π 0

= - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

= - - 1 - - 1 = 1 + 1

= 2   u . v .

Resposta

V = 2   u . v .

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