Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

UFRJ - Cálculo 1 - PF 2014.2 – 2

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da curva

y = 1 x sen π x ,         x   1 , + ,

Em torno do eixo x .

Passo 1

Cara, essa função é estranhíssima, não vou perder tempo tentando fazer seu desenho. Agora, eu sei que estou girando em torno do eixo x , então vou usar o método das seções transversais torcendo que esse método realmente resolva numa integral que não seja impossível de ser feita:

V = 1 + π 1 x sen π x 2 d x = 1 + π sen π x x 2 d x

Tem que se ligar agora em duas coisas: que essa integral é imprópria; e que a derivada de 1 x é um múltiplo de 1 x 2 . Ué, e por que eu disse isso?

u = π x     ;     d u = - π x 2 d x d x x 2 = - 1 π d u

Essa substituição vai simplificar bastante a nossa integral! Mas não pode esquecer de mudar os limites de integração também:

u i n f = π 1 = π     ;     u i n f = π = 0

π 1 + sen π x d x x 2 = π π 0 sen u - 1 π d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo esse cara, olha como fica:

π - 1 π π 0 sen u d u

= - π 0 sen u d u

= 0 π sen u d u

= - cos u [ π 0

= - cos π - - cos 0

= - - 1 - - 1 = 1 + 1

= 2   u . v .

Resposta

V = 2   u . v .

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