Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

Seja R a região limitada pelas curvas y = 2 x 2 e y = 3 - x 2

a) Esboce R e calcule a sua área.

b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Fala aí turminha da UNICAMP, tudo bem? Vamos detonar essa questão! Começando pelo item a), vamos esboçar a curva y = 2 x 2 . Nela, sabemos que é uma parábola, com raiz na origem e concavidade para cima (constante que acompanha o x 2 é positiva). A partir disso, a gente pode desenhar ela da seguinte forma:

Passo 2

Show, agora vamos pra segunda curva. Ela é descrita por y = 3 - x 2 . Pra gente poder esboçar essa curva, vamos olhar 2 parâmetros importantes dentro da função. Primeiro é a constante que soma com a variável quadrática. Ela nos diz que a curva toca o eixo y no ponto 3. O segundo parâmetro é a constante negativa que multiplica a variável. Dessa forma, a concavidade é voltada para baixo. Saca só o desenho:

Passo 3

Prontinho. Agora vocês conseguem imaginar como ficaria com as duas funções juntas? Vou mostrar pra vocês:

E essa é justamente a região que a questão pede pra gente esboçar. Mas tá faltando uma coisa, precisamos achar os pontos em que as funções se encontram. Tudo bem que na imagem dá pra perceber que é - 1 e 1 hahahahaha. Mas em um caso de prova, como você calcularia? Vou mostrar no próximo passo.

Passo 4

Pra gente achar os pontos onde elas se tocam, precisamos igualar as duas funções. Temos portanto:

3 - x 2 = 2 x 2

3 x 2 = 3

x 2 = 1

Logo,

x = 1 ,     x = - 1

E são justamente esses os pontos onde elas se encontram.

Passo 5

Pra calcularmos a área, usaremos o método da integral da subtração das funções. Função que está em “cima” menos a função que está em “baixo”. Logo,

∫ - 1 1 ( 3 - x 2 - 2 x 2 ) d x = 3 ∫ - 1 1 ( 1 - x 2 ) d x  

Resolvendo ela, temos que:

3   x - x 3 3 - 1 1 = 4   U . A  

Logo a área da região R é 4.

Resposta

R e g i ã o   R   =   4

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