Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

Considere a região delimitada pelas curvas y = e - x ,   y = 1 ,   x = 2 .

a) Calcule a área da região

b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno da reta y = 2 .

Passo 1

Para começar, vamos identificar que região é essa que estamos trabalhando.

Onde x = 2   é a reta verde, y = 1 a reta azul, e e - x a vermelha.

Passo 2

a) Bom, agora para escrever a integral que vai nos dar essa área cinza, fazemos a integral da função de cima, menos a debaixo, afinal, devemos lembrar que para o cálculo de uma área abaixo da função, calculanos a integral da mesma num determinado intervalo, certo? No entanto, não queremos toda área abaixo de y = 1 , mas sim a área abaixo de   y = 1 , menos a área abaixo da função vermelha e - x . Temos então:

∫ 1 - e - x   d x

Tranquilinho, né? Precisamos lembrar ainda que estamos procurando a integral quando o x varia entre 0   e   2 .

∫ 0 2 1 - e - x   d x

∫ 0 2 1   d x - ∫ 0 2 e - x   d x

x + e - x | 2 0 =

2 + e - 2 - e 0 =

2 + e - 2 - 1 =

1 + 1 e 2

Passo 3

b) Para calcular o volume, precisamos antes fazer uma análise na área:

Se nós fizéssemos o cálculo do volume girando tem torno do y=2, teríamos o volume dessa área toda (cinza + roxa) sendo rotacionada, e não é o que queremos.

Então, ao aplicar a fórmula, ao invés de termos:

V = ∫ 0 2 π 2 - e - x 2   d x

Lembrando que esse π surge a partir da fórmula do cálculo de volume a partir de uma rotação, tranquilo?

Vamos na realidade ter:

V = ∫ 0 2 π 2 - e - x 2 - 2 - 1 2   d x

A nova parcela que apareceu na integral representa a remoção da área roxa da parte a ser rotacionada. Tranquilo?

Passo 4

Bora resolver aí essa integral então.

V = ∫ 0 2 π [ 2 - e - x 2 - 2 - 1 2 ]   d x

∫ 0 2 π [ 2 - e - x 2 - 1 2 ]   d x

∫ 0 2 π [ 4 - 4 e - x + e - 2 x - 1 ]   d x

∫ 0 2 π [ 3 - 4 e - x + e - 2 x ]   d x

π 3 ∫ 0 2 d x - 4 ∫ 0 2 e - x d x   ∫ 0 2 e - 2 x   d x

V =

V = π 3 x + 4 e - x - e - 2 x 2 + | 2 0

V = π 4 e - 2 - e - 4 2 + 5 2

Resposta

V = π 4 e - 2 - e - 4 2 + 5 2

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