Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

Considera-se a área A entre a curva y = x e o eixo O x para 0 ≤ x ≤ 4 .

b) Determinar o volume do sólido de rotação, girando-se A

b1) em torno da reta y = - 1 b2) em torno da reta y = x + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o volume do sólido de rotação quando a nossa área A gira em torno da reta y = - 1 e quando gira em torno da reta y = x + 1 .

Nos dois casos, nós vamos usar o método dos anéis para calcular o volume de rotação, onde o volume é dado pela equação:

V = ∫ a b π R E 2 - R I 2 d x

Onde R E é o raio externo e R I o raio interno.

Quando A gira em torno de y = - 1 , é como se tivéssemos um raio externo indo da curva y = x até y = - 1 e um raio interno que vai do eixo x ( y = 0 ) até - 1 . Já quando a curva gira em torno de y = x + 1 , nós temos um raio interno de y = x até o eixo x e um raio externo de y = x + 1 até y = x . Mas calma que vai ficar mais claro quando a gente olhar os gráficos nos passos.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o volume V gerado pela rotação da área A (em amarelo) em torno da reta y = - 1 :

A reta y = - 1 é essa aí em cinza e é em torno dela que a região em amarelo vai rotacionar e gerar um sólido. O volume desse sólido vai ser dado por:

V = ∫ a b π R E 2 - R I 2 d x

Onde R E é o raio externo, que vai de y = x até - 1 e R I é o raio interno que vai de 0 a - 1 , ou seja:

R E = x - - 1 = x + 1

R I = 0 - - 1 = 1

Substituindo na integral, e sabendo que nosso intervalo de integração vai de 0 a 4 (dados no enunciado), temos:

V = ∫ 0 4 π x + 1 2 - 1 2 d x

Elevando ao quadrado:

V = ∫ 0 4 π x + 2 x + 1 - 1 d x

= ∫ 0 4 π x + 2 x d x

Integrando, temos:

V = π x 2 2 + 2 ∙ 2 3 x 3 / 2 0 4

Aplicando os intervalos de integração:

V = π 4 2 2 + 4 3 ( 4 ) 3 / 2 - 0 2 2 + 4 3 ( 0 ) 3 / 2

V = π 8 + 4 3 4 3 = π 8 + 32 3

E temos nosso volume:

V = 56 3 π

Passo 3

Agora nossa área A vai girar em torno da reta y = x + 1 (em laranja):

Então, agora nosso raio externo R E vai de y = x + 1 até y = x e nosso raio interno, R I , vai de y = x até o eixo x , ou seja:

R E = x + 1 - x

R I = x - 0 = x

Substituindo na integral de volume, temos:

V = ∫ a b π R E 2 - R I 2 d x

V = ∫ 0 4 π x + 1 - x 2 - x 2 d x

Elevando ao quadrado:

V = ∫ 0 4 π x 2 + 1 - x - x d x

= ∫ 0 4 π x 2 - 2 x + 1 d x

Integrando, temos:

V = π x 3 3 - 2 x 2 2 + x 0 4 = π x 3 3 - x 2 + x 0 4

Aplicando os intervalos de integração:

V = π 4 3 3 - 4 2 + 4 - 0 3 3 - 0 2 + 0

V = π 64 3 + 16 + 4

E temos nosso volume:

V = 28 3 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 56 3 π

V = 28 3 π

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