Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

Seja R a região limitada pelas curvas y = 2 x 2 e y = 3 - x 2

a) Esboce R e calcule a sua área.

b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Fala aí turminha da UNICAMP, tudo bem? Vamos detonar essa questão! Agora indo pro item b), temos que rotacionar o sólido dessa mesma área em torno do eixo x . Faremos isso a partir do método padrão de sólidos de revolução. Nossa integral fica na forma:

V r = π ∫ a b f x 2   d x

Sendo que o nosso f ( x ) é a região delimitada pela integral da diferença das duas curvas. Logo, aplicando para nossa função, a integral a ser montada fica na forma:

V r = π ∫ - 1 1 3 - x 2 2 - 2 x 2 2   d x

Agora é resolvermos e encontrarmos o volume!

Passo 2

Pra nossa função:

V r = π ∫ - 1 1 3 - x 2 2 - 2 x 2 2   d x

Ela fica na forma:

V r = π ∫ - 1 1 ( 9 - 6 x 2 - 3 x 4 )   d x

Agora integrando, temos:

V r = π 9 x - 6 x 3 3 - 3 x 5 5 ​ | 1 1  

V r = 64 π 5

Portanto nosso volume é:

V r = 64 π 5   U . V

Resposta

V r = 64 π 5   U . V

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