Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

UNICAMP - Cálculo 1 - Exame 2012 Diurno - 5 b

Ao rotacionarmos em torno do eixo x a região delimitada pela função f x = e - x ,   0 x α , obtemos um sólido conhecido por Trombeta de Gabriel. No entando, ao girarmos em torno do eixo y , obtemos um outro sólido conhecido como Vulcão de Descartes.

b Calcule o volume do Vulcão de Descartes, para α suficientemente grande, ou seja, α .

Passo 1

b Nosso esboço é o mesmo da última questão para um α qualquer.

Rotacionando em torno do eixo y nós teríamos o seguinte, pelo método das cascas cilíndricas:

V = 0 α 2 π r x h x d x = 0 α 2 π x e - x d x

Vamos resolver essa integral para um α qualquer e depois fazemos ele tender a .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos com a integral por partes. Pelo LIATE, a o u = x e o d v = e - x d x :

u = x d u = d x

d v = e - x d x v = - e - x

0 α 2 π x e - x d x = 2 π - x e - x + e - x d x [ α 0

= 2 π - x e - x - e - x [ α 0

= 2 π - α e - α - e - α - 2 π - 0 e 0 - e 0

2 π - α - 1 e α + 1 = 2 π - α - 1 + e α e α

Ok, agora calculamos o limite disso aí quando α vai a + .

Passo 3

lim α 2 π - α - 1 + e α e α

Substituindo esse limite aí a gente cai numa indeterminação - . Vamos de L’Hospital então:

lim α 2 π - α - 1 + e α e α L ' H lim α 2 π - α - 1 + e α ' e α '

= lim α 2 π - 1 + e α e α = lim α 2 π - 1 e α + 1

= 2 π - 1 + 1 = 2 π

Esse é o volume que estávamos procurando!

Resposta

V = 2 π   u . v .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas