Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2018.1, Questão Q04

Seja R a região entre as curvas y = 0 e

y = ln x x + 1   ,   x [ 1 , + )

Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R ao redor do eixo x

Passo 1

Show, vamos começar. A primeira coisa que vamos notar é que a curva y = 0 é o próprio eixo x . Perfeito, então considerarmos

f x = ln x x + 1

O cálculo desse volume fica, usando o método dos discos:

V = π f x ²   d x

Mas quais vão ser os limites de integração? Oras, vão ser exatamente os pontos em que as curvas y = 0 e y = ln x x + 1 se encontram! Partiu achar então:

ln x x + 1 = 0

ln x = 0

ln x = 0

x = 1

Ué, mas só tem um limite de integração? Não deveríamos ter dois? Pois é meus caros, quando isso acontece, talvez o outro limite seja o infinito. Quer ver uma coisa? Vamos ver se essa função possuí assíntota horizontal:

lim x + ln x x + 1 =

Por L’Hospital, temos que:

lim x + ln x x + 1 = lim x + 1 2 ln x 1 x 1 = lim x + 1 2 x ln x = 1 = 0

E não é que tem? Então quando x = 1 , y = 0 , mas quando x tende a um número infinitamente grande e positivo, y tende à 0 . O volume vai ficar então:

V = 1 + π f x ²   d x

Mas como limite de integração infinita não existe, reescrevemos esse volume como:

V = lim a + 1 a π f x ²   d x

E pra gente terminar de modelar, substituímos f x e ficamos com:

V = lim a + 1 a π ln x x + 1 ²   d x

V = π lim a + 1 a ln x x + 1 ²     d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, sabemos agora a fórmula pra calcular esse volume. O jeito agora é por a mão na massa e calcular. Vamos primeiro, calcular a integral indefinida:

ln x x + 1 2   d x

Pra começar, vamos lembrar do seguinte:

u = ln x

d u d x = 1 x

Ué, mas no que isso ajuda? Bem, quando a gente deriva ln x , o logarítimo não some? Então se a gente fizer uma integração por partes, é bem capaz de pararmos em uma integral sem logarítimo. Partiu tentar. Seja:

u = ln x d u = d x x

1 x + 1 ²     d x = d v v = - 1 x + 1

A integração por partes:

u   d v = u v -   v   d u

Fica:

ln x x + 1 ²     d x = - ln x x + 1     -   - 1 x x + 1 d x

ln x x + 1 ²     d x =   1 x x + 1 d x - ln x x + 1    

E olha só! Sumiu mesmo! Ganhamos, no entanto, outra integral pra nos preocuparmos:

1 x x + 1 d x

Mas relaxa gafanhoto, que essa também não é lá um bicho de sete cabeças. Por frações parciais:

1 x x + 1 = A x + B x + 1

1 x x + 1 = A x + 1 x x + 1 + B x x x + 1

1 = A x + 1 + B x = A x + A + B x

0 x + 1 = A + B x + A

Chegamos à:

A = 1

B = - 1

E reescrevemos a integral como:

1 x x + 1 d x = 1 x - 1 x + 1 d x = ln x - ln x + 1

E por fim, temos que:

ln x x + 1 ²     d x =   ln x - ln x + 1 - ln x x + 1    

Passo 3

Show de bola, agora que temos o resultado da integral indefinida, vamos aplicar os limites de integração:

1 a ln x x + 1 ²     d x =   ln x - ln x + 1 - ln x x + 1   x = 1 x = a

1 a ln x x + 1 ²     d x = ln a - ln a + 1 - ln a a + 1   - ln 1 - ln 2 - ln 1 1 + 1  

1 a ln x x + 1 ²     d x = ln a - ln a + 1 - ln a a + 1   +   ln 2

Aplicando o limite:

lim a + 1 a ln x x + 1 ²     d x = lim a + ln a - ln a + 1 - ln a a + 1   +   ln 2

Ok, esse é um limite bem grande, eu sei. Vamos dividir ele em três e ver cada um dos três então:

lim a + ln a - ln a + 1 - ln a a + 1   +   ln 2 =

= lim a + ln a - ln a + 1 - lim a + ln a a + 1   + lim a + ln 2

Passo 4

Beleza, vamos então meter a mão na massa e calcular esses três limites:

lim a + ln a - ln a + 1

lim a + ln a a + 1  

lim a + ln 2

O último limite nem tem a dentro né? Então como é um limite de uma constante:

lim a + ln 2 = ln 2

O limite do meio, primeiro a gente substitui e vê no que dá:

lim a + ln a a + 1   =

Opa, esse tipo de limite sai por L’Hospital! Fazendo LH então:

lim a + ln a a + 1   = lim a + 1 a 1   = lim a + 1 a = 0

E pra fechar, o primeiro limite, se substituirmos:

lim a + ln a - ln a + 1 = -

Eita, mais indeterminação. Essa ainda tem um tipo diferente! Mas saca só. Das propriedades de logaritmo, podemos reescrever esse limite como:

lim a + ln a - ln a + 1 = lim a + ln a a + 1 =

Como a + , podemos tirar tudo do módulo. Dividindo, depois disso, em cima e em baixo por a :

= lim a + ln a a + 1 = lim a + ln 1 1 + 1 a =

Aplicando o limite:

= ln 1 1 + 0 = ln 1 = 0

E prontinho, os três limites foram calculados! A soma deles vai ficar:

0 + 0 + ln 2 = ln 2

E como o volume dado por:

V = π lim a + ln a - ln a + 1 - ln a a + 1   +   ln 2

Vamos ter:

V = π ln 2

Resposta

V = π ln 2

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