Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2017.1, Questão ME1

  1. Seja C a região do plano delimitada superiormente pelo gráfico de f x = 1 a + x , à esquerda por x = 1 e inferiormente pelo eixo x . Seja V o volume do sólido gerado pela rotação de C em torno do eixo x . Então:
  1. V é finito para todo a > 0 .
  2. V não é finito para nenhum a > 0 .
  3. V é finito apenas para a > 1 .
  4. V é finito apenas para 0 < a < 1 .

Passo 1

Bem, a primeira coisa aqui é desenhar a região C ...

A curva de f x = 1 a + x é uma curva semelhante a 1 / x . Mas deslocada de a unidades a esquerda em x ...

A região está abaixo dessa curva até o eixo x e delimitada também pela reta vertical x = 1 ...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Quando giramos essa região C ao redor do eixo x determinamos um sólido só que esse sólido é infinito, saca? O problema quer saber justamente para quais intervalos de a , o volume converge para algum valor, ou seja, exista volume finito. Para isso, vamos usar a expressão do cálculo do volume pelo método dos discos (pois estamos girando ao redor de x ) :

V = a b π f x 2 d x

Onde a e b são os limites do sólido em x , ou seja, a é onde começa, no 1 , e b onde “termina”, no infinito positivo nesse caso...

V = 1 + π f x 2 d x

A função f x é justamente a curva que estamos girando, no caso a curva...

f x = 1 a + x

Passo 3

Calculando essa integral...

V = 1 + π 1 a + x 2 d x

Essa integral é pela definição, é um limite...

lim t + 1 t π 1 a + x 2 d x

A integral

π 1 t 1 x + a 2 d x

Podemos calcular:

π 1 t 1 x + a 2   d x =

π - 1 x + a 1 t =

Substituindo os limites de integração...

π - 1 t + a - - 1 1 + a = π 1 1 + a - 1 t + a

Passo 4

Aplicando o limite no resultado da integral...

lim t + 1 t π 1 x + a 2 d x = lim t + π 1 1 + a - 1 t + a =

Ora, por propriedades de limites...

lim t + π 1 + a - lim t + π t + a =

O primeiro limite é uma constante e quando x vai ao infinito ele não se altera, portanto...

π 1 + a - lim t + π t + a =

Já esse outro...

π 1 + a - lim t + π t + a = π 1 + a - 0

Logo...

lim t + 1 t π 1 x + a 2 d x = π 1 + a

Passo 5

Então o volume é

V = 1 + π 1 a + x 2 d x = π 1 + a

Veja que a integral é convergente e converge para o valor finito do volume para qualquer valor de a , tirando a = - 1 , logo a resposta correta é...

  1. V é finito para todo a > 0 .

Resposta

  1. V é finito para todo a > 0 .

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