Exercícios Resolvidos de Algarismos Significativos e Notação Científica

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Enunciado

Nas equações seguintes, a distância x está em metros e o tempo t está em segundos. Quais as unidades das constantes C 1 e C 2 ?

a )   x = C 1 + C 2 t ;

b )   x = 1 2 C 1 t 2 ;

c )   v 2 = 2 C 1 x ;

d )   x = C 1 cos ⁡ C 2 t ;

e )   v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 2 .  

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza?

Nessa questão recebemos várias equações relacionando a distância c em metros e o tempo t em segundos. O enunciado nos pede pra determinar as unidades das constantes C 1 e C 2 .

Pra responder esse item tem alguns princípios bem importantes que precisamos comentar:

1 ) Só somamos termos que estão com a mesma unidade;

2 ) Se temos uma equação física, a unidade do lado esquerdo tem que ser igual à unidade do lado direito da equação.

Vamos usar essas ideias pra conseguir determinar o valor das constantes C 1 e C 2 beleza?

Passo 2

Começando pelo item a ) , temos a equação:

x = C 1 + C 2 t

Pelo nosso 2 ° princípio que comentamos no passo anterior, a unidade do lado esquerdo precisa ser igual à unidade do lado direito.

Mas, do lado esquerdo temos a distância x em metros. Logo, o lado direito da nossa equação precisa estar em metros.

Já pelo 1 ° princípio, quando somamos termos eles precisam estar na mesma unidade. E, nesse caso, essa unidade precisa ser metro. Daí já temos:

C 1 → m e t r o s

C 2 t → m e t r o s

Vamos analisar dimensionalmente o produto C 2 t :

C 2 ⋅ s = m

Logo:

C 2 = m s

Portanto essa é a unidade de C 2 .

Vamos para o item b ) . Recebemos a equação:

x = 1 2 C 1 t 2

Novamente, pelo 2 ° princípio, a unidade do lado direito deve ser metros. Vamos então fazer a análise dimensional do termo no lado direito da equação:

C 1 ⋅ s 2 = m

∴ C 1 = m s 2

(Não precisamos incluir o 1 2 na equação dimensional, pois ela é uma constante).

Estamos indo bem pessoal!

Passo 3

Indo agora para o item c ) , temos a equação:

v 2 = 2 C 1 x

Vamos escrever a equação dimensional:

m s 2 = C 1 ⋅ m

Logo:

C 1 = m s 2

Agora no item d ) , temos:

x = C 1 cos ⁡ C 2 t

Usando a nossa equação dimensional:

m = [ C 1 ]

Aqui tem um detalhe superimportante, o cosseno é adimensional. Ou seja, ele não tem dimensão. Lembra que por definição, o cosseno é a razão entre cateto e hipotenusa? Então, é como se a unidade se cancelasse, sabe?

Por isso, concluímos que:

C 1 = m

Já sobre C 2 , ele se encontra no argumento do cosseno. E, dizemos que o argumento do cosseno vem em radianos. Ou seja, temos:

C 2 ( s ) = r a d

C 2 = r a d s

Por fim, no item e ) :

v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 2

Como o lado esquerdo possui unidade:

m s 2

Precisamos que cada termo do lado direito também tenha a mesma unidade. Ou seja:

C 1 ⋅ m s = m 2 s 2

Logo:

C 1 = m s

Já para C 2 , vamos ter:

C 2 2 ⋅ m 2 = m 2 s 2

Logo:

[ C 2 ] = 1 s

E é isso gente! Basicamente a ideia geral é usarmos os princípios que comentamos no passo 1 , junto com a equação dimensional.

Até a próxima pessoal 😊

Resposta

a )   C 1 = m   ; C 2 =   m / s

b )   C 1 =   m / s 2 ;  

c )   C 1 =   m / s 2 ;  

d )   C 1 =   m         ; C 2 = r a d / s  

e )   C 1 = m s       ; C 2 = 1 s  

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