Exercícios Resolvidos de Algarismos Significativos e Notação Científica

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Enunciado

20) Se a → = 3,0 i ^ + 3,0 j ^ - 2,0 k ^ , b → = - 1,0 i ^ - 4,0 j ^ + 2,0 k ^ e c → = 2,0 i ^ + 2,0 j ^ + 1,0 k ^ , determine: a) a → · b → + c → ;

b) a → × b → + c → ;

c) a → · b → × c → .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que resolver algumas operações com vetores dado os vetores a → = 3,0 i ^ + 3,0 j ^ - 2,0 k ^ , b → = - 1,0 i ^ - 4,0 j ^ + 2,0 k ^ e c → = 2,0 i ^ + 2,0 j ^ + 1,0 k ^ queremos obter a → · b → + c → , a → × b → + c → e a → · b → × c → .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A soma e subtração de vetores é calculada fazendo a operação em cada um dos componentes dos vetores separadamente, por exemplo

A → + B → = A x + B x î + A y + B y j ^ + ( A z + B z )   k ^

O produto interno entre dois vetores é calculado somando o produto entre os componentes dos vetores

A → · B → = A x · B x + A y · B y + ( A z · B z )

E o produto vetorial entre dois vetores é dado pelo determinante da matriz dos componentes, por exemplo

A → × B → = î j ^ k ^ A x A y A z B x B y B z

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro queremos obter a → · b → + c → , ou seja

b → + c → = b x + c x î + b y + c y j ^ + ( b z + c z )   k ^

b → + c → = - 1,0 + 2,0 î + - 4,0 + 2,0 j ^ + ( 2,0 + 1,0 )   k ^

b → + c → = 1,0 î + - 2,0 j ^ + ( 3 , 0 )   k ^

Calculando o produto interno de a → com b → + c →

a → · b → + c → = 3,0 · 1,0 + 3,0 · - 2,0 + ( - 2,0 · 3 , 0 )

a → · b → + c → = 3,0 - 6,0 - 6,0

a → · b → + c → = - 9,0

Agora queremos obter a → × b → + c → .

Já temos a soma b → + c → então podemos ir direto para o produto vetorial de a → com b → + c →

a → × b → + c → = î j ^ k ^ 3,0 3,0 - 2,0 1,0 - 2,0 3 , 0 = 3,0 · 3,0 - - 2,0 · - 2,0 î + ( ·

a → × b → + c → = 3,0 · 3,0 - - 2,0 · - 2,0 î + - 2,0 · 1,0 - 3,0 · 3,0 j ^ + 3,0 · - 2,0 - 3,0 · 1,0 k ^

a → × b → + c → = 9,0 - 4,0 î + - 2,0 - 9 , 0 j ^ + - 6,0 - 3,0 k ^

a → × b → + c → = 5,0 î - 11,0 j ^ - 9,0 k ^

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Por fim, queremos obter a → · b → × c → .

Calculando o produto vetorial entre b → e c → ...

b → × c → = î j ^ k ^ - 1,0 - 4,0 2,0 2 , 0 2,0 1 , 0

b → × c → = - 4,0 · 1,0 - 2,0 · 2,0 î + 2,0 · 2,0 - - 1,0 · 1,0 j ^ + - 1,0 · 2,0 - - 4,0 · 2,0 k ^

b → × c → = - 8,0 î + 5 , 0 j ^ + 6 , 0 k ^

Agora calculando o produto interno com o vetor a →

a → · b → × c → = 3,0 · - 8,0 + 3,0 · 5,0 + - 2,0 · 6,0

a → · b → × c → = - 21

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) a → · b → + c → = - 9,0

b) a → × b → + c → = 5,0 î - 11,0 j ^ - 9,0 k ^

c) a → · b → × c → = - 21

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