Exercícios Resolvidos de Análise de Eventos a partir de Conjuntos

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Enunciado

14) Um dado de 6 faces, viciado, possui probabilidade de ocorrência de cada face proporcional ao número de pontos desta. Lança-se este dado. Caso a face apresente um número maior que 3, sorteia-se um número entre 1 e 9 uniformemente. Caso a face apresente um número menor que 4, sorteia-se um número entre 1 e 5 uniformemente. Qual é a probabilidade de o número sorteado ser par?

a) 178 / 263

b) 1 / 2

c) 136 / 315

d) 1 / 3

e) 78 / 465

Passo 1

Faaaaala galera! Quem tá animado pra descobrir o mistério desse dado maluco?

Essa questão traz um problema bem interessante. Imagina que você tem um dado que quando é lançado, a probabilidade de sair um número qualquer é diretamente proporcional a esse número. Tipo assim, a probabilidade de sair o número 5, por exemplo é:

P 5 = 5 k

O mesmo vale para os outros números do dado (1, 2, 3, 4 e 6).

Só que esse dado é só a primeira parte da brincadeira. Depois que ele for lançado, se o resultado for 4, 5 ou 6 será feito um sorteio de 1 a 9, com resultados equiprováveis. Se o resultado do dado for 1,2 ou 3 será feito um sorteio de 1 a 5, também equiprovável.

A pergunta do milhão é: Qual a probabilidade de, no final de tudo, ser sorteado um número par?

Passo 2

Bom, agora que a gente sacou a ideia desse sorteio maluco, precisamos ir por partes. Primeiro, bora descobrir a probabilidade de, no lançamento do dado, termos x ≥ 4 ou x ≤ 3 (onde x é o resultado do lançamento).

P x ≥ 4 = P 4 + P 5 + P ( 6 )

Pela proporcionalidade do dado viciado, temos:

P x ≥ 4 = 4 k + 5 k + 6 k = 15 k

Ok, mas e quem é esse k ?

O k é justamente a constante de proporcionalidade. Para descobrir o seu valor, podemos usar um resultado conhecido. Pois sabemos que a probabilidade de no lançamento de um dado qualquer, viciado ou não, sair 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5   ou 6 é 100 % , ou seja, 1 , porque não tem como sair um número diferente desses. Daí:

P 1 + P 2 + P 3 +   P 4 + P 5 + P 6 = 1

⇒ 1 k + 2 k + 3 k + 4 k + 5 k + 6 k = 21 k = 1

Logo:

k = 1 21

Perfeito! Então a probabilidade de termos x ≥ 4 é:

P x ≥ 4 = 15 ⋅ 1 21 = 15 21

Além disso, usando a complementaridade da probabilidade, vem que:

P x ≤ 3 = 1 - P x ≥ 4 = 1 - 15 21 = 6 21

Boa, agora vamos analisar o resultado do sorteio.

Passo 3

Se no lançamento do dado a gente tiver x ≥ 4 , será feito um sorteio equiprovável entre 9 números. A probabilidade de sair um número par é de P p a r = 4 / 9 . Porque há 4 números pares ( 2 ,   4   ,   6 ,   8 ) dentre os 9 a serem sorteados.

Já se no lançamento do dado a gente tiver x ≤ 3 , será feito um sorteio dentre 5 números. A probabilidade de sair um número par é de P p a r = 2 / 5 , pois há 2 pares ( 2 ,   4 ) dentre os 5 números.

Excelente pessoal! Agora a gente pode montar nossa árvore de probabilidade pra encerrar a questão com classe hahaha.

Beleza! Como a gente quer saber a probabilidade de ser sorteado um número par, basta somarmos os ramos que resultam em um sorteio par. Logo:

P s o r t e i o   p a r = 6 21 ⋅ 2 5 + 15 21 ⋅ 4 9 = 12 105 + 60 189 = 12 105 + 20 63 = 36 + 100 315

Por fim, finalmente chegamos que:

P s o r t e i o   p a r = 136 315

Aeee, conseguimos!!! Vocês entenderam bem?

Bora pra próxima!

Resposta

Letra C: 136 / 315  

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