Exercícios Resolvidos de Análise de Eventos a partir de Conjuntos

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Enunciado

  1. Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive são divisíveis por 2 , 3 ou 5 ?
  2. Quantos anagramas diferentes podem ser formados com as letras de “BRASIL” tendo exatamente duas letras na posição original?
  3. De quantas maneiras podemos distribuir os 20 alunos de uma turma em 4 distintos grupos de pesquisa de forma que nenhum grupo fique vazio?

Passo 1

Fala aí, pessoal! Vamos começar pela letra “a”, ela nos pede a quantidade de números inteiros divisíveis por três números, então vamos determinar os seguintes conjuntos:

A : conjunto dos números inteiros divisíveis por 2 .

B : conjunto dos números inteiros divisíveis por 3 .

C : conjunto dos números inteiros divisíveis por 5 .

Para encontrar quantos números entre 1 e 1000 são divisíveis por um número, a dica de ouro é dividir 1000 pelo número que queremos saber se é divisível. Por exemplo, quantos elementos são divisíveis por 2 :

P A = 1000 2 = 500

Por outro lado, quantos elementos temos no conjunto B ? Como o conjunto B é formado pelos inteiros divisíveis por 3 , então:

P B = 1000 3 = 333

E o mesmo se repete para o conjunto C , são números divisíveis por 5 :

P C = 1000 5 = 200

O pulo do gato mora em entender que quando ele nos pede para encontrar quantos são os números divisíveis por 2 OU 3 OU 5 , nós não temos que somar esses 3 resultados. Cuidado que esse é um erro fácil de cometer! Na verdade, nós queremos:

P ( A ∪ B ∪ C )

E pelas teorias de conjunto, devemos saber que para calcularmos isso, temos a seguinte relação:

P A ∪ B ∪ C = P A + P B + P C - P A ∩ B - P B ∩ C - P A ∩ C - P ( A ∩ B ∩ C )

A palavra “OU” em conjuntos significa a união de dois conjuntos e é representada pelo símbolo . Enquanto a interseção significa “E” e é representada por .

Na fórmula de P A ∪ B ∪ C , a gente precisa subtrair esses conjuntos de interseção, senão vamos contar mais de uma vez os mesmos números!

Mas quem são esses conjuntos de interseção? Vamos definir cada um!

A ∩ B : Conjunto dos números que são divisíveis por 2 e 3 ao mesmo tempo, ou seja, os múltiplos de 6

B ∩ C : Conjunto dos números que são divisíveis por 3 e 5 ao mesmo tempo, ou seja, os múltiplos de 15

C ∩ A : Conjunto dos números que são divisíveis por 5 e 2 ao mesmo tempo, ou seja, os múltiplos de 10

A ∩ B ∩ C : Conjunto dos números que são divisíveis por 2 e 3 e 5 ao mesmo tempo, ou seja, os múltiplos de 30

Então, se esses conjuntos são os múltiplos de alguma coisa, a gente calcula a quantidade igual nos conjuntos A, B e C. A quantidade de múltiplos é igual à divisão INTEIRA de 1000 pelo próprio número:

P A ∩ B = 1000 2 ⋅ 3 = 1000 6 = 166

P B ∩ C = 1000 3 ⋅ 5 = 1000 15 = 66

P C ∩ A = 1000 2 ⋅ 5 = 1000 10 = 100

P A ∩ B ∩ C = 1000 2   ⋅ 3 ⋅ 5 = 1000 30 = 33

Substituindo todos os valores que encontramos até agora na equação:

P A ∪ B ∪ C = P A + P B + P C - P A ∩ B - P B ∩ C - P A ∩ C + P ( A ∩ B ∩ C )

Teremos então:

P A ∪ B ∪ C = 500 + 333 + 200 - 166 - 66 - 100 - 33

Fazendo essa conta:

P A ∪ B ∪ C = 668

Descobrimos então que temos 668 números entre 1 e 1000 que são divisíveis por 2 ou 3 ou 5 .

Passo 2

A letra “b” já mudou completamente de cenário, nós temos as letras da palavra “BRASIL”, ou seja, são 6 elementos e ele nos pede para:

“Quantos anagramas diferentes podem ser formados com as letras de “BRASIL” tendo exatamente duas letras na posição original?”

Perceba que ele diz que exatamente duas letras devem ficar as posições originais, logo as demais 4 letras não podem ficar nas posições originais:

Essa questão tem duas etapas, que são as etapas da formação do anagrama: a primeira é definir quais letras ficam na posição e quais mudam; a segunda é definir onde ficarão as letras que mudam de lugar.

Vamos começar pelo primeiro, ou seja, vamos calculando quantas possibilidades diferentes temos para definir quem fica na posição e quem muda. Nesse caso, estamos falando de 2 grupos: o grupo que fica e o grupo que muda. Mas dentro desses grupos não há ordenação. O que eu quero dizer é que, tanto faz se as letras que ficam são B e S ou se as letras são S e B. Entendeu? Nessa etapa a ordem não importa. Só importa a separação em 2 grupos! Por isso, estamos falando de um caso de combinação simples!

Através de uma combinação, onde escolhermos 2 elementos de 6 , sem considerar ordem entre esses 2. A fórmula da combinação:

C n k = n ! k ! n - k !

Aplicando nossos valores:

C 6 2 = 6 ! 2 ! 6 - 2 ! = 6 ! 2 ! 4 !

Agora vamos pra segunda etapa, que é definir os novos lugares dos 4 elementos que mudam.

Para definir de quantas maneiras diferentes podemos ordenar um grupo de elementos, usamos a Permutação. Mas temos vários tipos de permutação. Quando nenhum elemento pode ficar nas posição original, temos que usar a Permutação Caótica!

A fórmula da Permutação Caótica é essa aqui:

D n = n ! 1 0 ! - 1 1 ! + 1 2 ! - 1 3 ! + … + - 1 n n !

Aplicando nossos valores, teremos:

D 4 = 4 ! 1 0 ! - 1 1 ! + 1 2 ! - 1 3 ! + 1 4 !

Logo o número total de possibilidades é:

P = C 6 2 ⋅ D 4

Substituindo os valores que encontramos:

P = 6 ! 2 ! 4 ! ⋅ 4 ! 1 0 ! - 1 1 ! + 1 2 ! - 1 3 ! + 1 4 !

Fazendo as contas, então:

P = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ! 2 ⋅ 4 ! ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1 - 1 + 1 2 - 1 3 ⋅ 2 + 1 4 ⋅ 3 ⋅ 2

P = 6 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 2 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Simplificando:

P = 15 ⋅ 12 - 4 + 1 = 15 ⋅ 9 = 135

Logo, temos 135 possibilidades de formação de um anagrama.

Resposta

a)

668

b)

135

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