Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear

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Enunciado

Ache a linearização de f x = 1 - x 3 em a = 0

Passo 1

Uma forma de enxergar a linearização de funções é assumir que nossa função tem um começo onde queremos começar a linearizar que é o nosso termo f ( a ) . Depois a função vai começar a caminhar na direção tangente a da função original (termo diferencial), no passo que a gente quiser, que é o termo ( x - a ) , onde x pode ser qualquer número.

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

f u n ç ã o   l i n e a r i z a d o r a   x = c o m e ç o + d i r e ç ã o   d a   f u n ç ã o × p a s s o

Onde a derivada da função é em relação a x , pois estamos interessados em saber a angulação dessa função.

Passo 2

Primeiro vamos então calcular f ( a ) ou simplesmente aplicar a na função f .

f a = 0 = 1 - 0 3 = 1

Vamos agora derivar a função e depois aplicar a

f ' = d d x x - 1 1 / 3

Precisamos aplicar regra da cadeia aqui, certo?

f ' = 1 3 1 - x - 2 / 3 × d d x 1 - x

f ' = 1 3 ( 1 - x ) 2 / 3 × - 1 = - 1 3 1 - x 2 3

f ' 0 = - 1 3 1 - 0 2 3 = - 1 3

Passo 3

Agora vamos aplicar na nossa função linearizadora!!

L x = 1 - 1 3 ( x - 0 )

L x = 1 - x 3

L x = 3 - x 3

Resposta

L x = 3 - x 3

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