Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear

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Enunciado

A intensidade da força necessária para arrastar uma caixa de M Kg sobre uma superfície horizontal puxando-a com uma corda com ângulo θ é dada por:

F θ = μ M μ s e n θ + c o s θ

onde μ > 0 e é uma constante denominada coeficiente de fricção. Use aproximação linear de primeira ordem para estimar a força necessária para arrastar uma caixa de 40 kg, sabendo que μ = 0,2 e que a corda faz um ângulo de 46° em relação à superfície.

Passo 1

Primeiro de tudo a gente precisa lembrar da equação de aproximação linear:

F θ = f θ + f ' ( θ )

Onde temos que f a = f ( θ )

Ou seja, temos que f θ = μ M μ s e n θ + c o s θ com os valores dados no enunciado. E depois a gente vai precisar derivar essa função também e utilizar os valores dados no enunciado.

f θ = 0,2 × 40 0,2   s e n 46 ° + c o s 46 ° = 9,546

f ' θ = μ M × d d θ 1 μ s e n θ + c o s θ

Vamos precisar usar a regra da cadeia...vem comigo pro passo 2!!

Passo 2

Fazendo a regra da cadeia:

d d x ( μ s e n θ + cos ⁡ θ - 1 )  

- 1 μ s e n θ + cos ⁡ θ 2 d d θ μ s e n θ + c o s θ

d d θ = μ s e n θ + cos ⁡ θ = μ cos ⁡ θ - s e n θ

Substituindo e simplificando, temos:

d d x ( μ s e n θ + cos ⁡ θ - 1 ) = s e n θ - μ c o s θ μ s e n θ + cos ⁡ θ 2

Ou seja, nossa f ' ( θ ) é igual a:

f ' θ = μ M s e n θ - μ c o s θ μ s e n θ + cos ⁡ θ 2

Substituindo os valores, temos:

f ' θ = 0,2 × 40 s e n 46 - 0,2 × c o s 46 0,2   s e n 46 + c o s 46 2 = 15,3

Logo, tem-se:

F θ = 15,3 + 9,546 = 24,846   N

Resposta

F θ = 24,846   N

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