Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear

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Enunciado

Determine a diferencial total e a melhor aproximação linear de f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + x y - 3 y z , nas proximidades do ponto P 0 = ( 0 ,   1 ,   1 ) . Encontre também uma estimativa para o erro máximo que se obtém quando se aproxima a função por aproximação linear, na região R : x ≤ 0,002 ; y - 1 ≤ 0,001 ; z - 1 ≤ 0,001 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função de três variáveis, f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + x y - 3 y z , e um ponto P 0 = ( 0 ,   1 ,   1 ) , e pediu pra gente calcular a diferencial total dessa função, uma aproximação linear e estimar os erros máximos na aproximação.

A diferencial total é definida por:

d f = f x x ,   y d x + f y x ,   y d y + f z x ,   y d z

onde f x ,   f y e f z são as derivadas parciais da função f em relação a x , a y e a z , respectivamente. Já a aproximação linear, ou aproximação pelo plano tangente, consiste em definir um plano tangente que aproxima a função em um ponto onde suas derivadas parciais de primeira ordem são contínuas. Essa aproximação é definida por:

f x ,   y ,   z ≈ f a ,   b ,   c + f x a ,   b ,   c ( x - a ) + f y a ,   b ,   c ( y - b ) + f z a ,   b ,   c ( z - c )

onde ( a ,   b , c ) é o ponto de tangência, que nesse caso é P 0 = ( 0 ,   1 ,   1 ) .

Por fim, vamos estimar o erro máximo dessa aproximação usando x ≤ 0,002 ; y - 1 ≤ 0,001 ; z - 1 ≤ 0,001 considerando suas variações máximas: d x = 0,002 , d y = 1,001 e d z = 1,001 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a diferencial total da função:

d f = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + x y - 3 y z d x + ∂ ∂ y x 2 + y 2 + x y - 3 y z d y + ∂ ∂ z x 2 + y 2 + x y - 3 y z d z

Derivando parcialmente em relação a cada variável, temos:

d f = 2 x + y d x + 2 y + x - 3 z d y + - 3 y d z

E encontramos a nossa diferencial total.

Passo 3

Para encontrar nossa aproximação linear vamos usar a definição:

f x ,   y ,   z ≈ f a ,   b ,   c + f x a ,   b ,   c ( x - a ) + f y a ,   b ,   c ( y - b ) + f z a ,   b ,   c ( z - c )

Usando o ponto P 0 = ( 0 ,   1 ,   1 ) , onde a = 0 , b = 1 e c = 1 , as derivadas parciais (calculadas no passo anterior) no ponto são:

f x 0 ,   1 ,   1 = 2 ( 0 ) + ( 1 ) = 1

f y 0 ,   1 ,   1 = 2 1 + 0 - 3 1 = - 1

f z 0 ,   1 ,   1 = - 3 1 = - 3

Aplicando também a função no ponto:

f 0 ,   1 ,   1 = ( 0 ) 2 + ( 1 ) 2 + 0 1 - 3 1 1 = - 2

Substituindo tudo na fórmula da linearização, obtemos:

f x ,   y ,   z ≈ - 2 + x - 0 - y - 1 - 3 ( z - 1 )

f x ,   y ,   z ≈ - 2 + x - y + 1 - 3 z + 3

f x ,   y ,   z ≈ x - y - 3 z + 2

Passo 4

Estimando o erro máximo que se obtém quando se aproxima a função por aproximação linear, na região que o enunciado nos deu, vamos usar os valores máximos d x = 0,002 , d y = 1,001 e d z = 1,001 e o valor das variáveis no ponto de tangência, x = 0 , y = 1 e z = 1 .

Substituindo na nossa diferencial total:

d f = 2 x + y d x + 2 y + x - 3 z d y + - 3 y d z

d f = 2 0 + 1 ∙ 0,002 + [ ( 2 1 + 0 - 3 1 ) ∙ 1,001 ] + [ - 3 1 ∙ 1,001 ]

Calculando, temos:

d f = 0,002 - 1,001 - 3,003

d f = 4,002

Que é o nosso erro máximo.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d f = 2 x + y d x + 2 y + x - 3 z d y + - 3 y d z

f x ,   y ,   z ≈ x - y - 3 z + 2

d f = 4,002

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