Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear

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Enunciado

Determine a aproximação linear da função f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 no ponto   ( 1,0 , 1 ) e use-a para calcular f ( 1.005,0.007,1.01 )

Passo 1

Encontrar a aproximação linear de uma função em torno de um ponto é o mesmo que encontrar a equação do plano tangente nesse ponto. A única diferença é que como a nossa função depende de três variáveis, a gente não consegue esboçar e criar uma visualização do comportamento disso. Mas não tem problema, a gente consegue resolver isso usando o procedimento de sempre!

A aproximação linear é dada pela expressão

L x , y , z = f x 0 ,   y 0 ,   z 0 + f x x 0 ,   y 0 ,   z 0 . x - x 0 + f y x 0 ,   y 0 ,   z 0 y - y 0 + f z x 0 ,   y 0 ,   z 0 . ( z - z 0 )

Dessa forma, tudo que precisamos calcular é o valor de f no ponto dado para a aproximação linear ( 1,0 , 1 ) e encontrar as derivadas parciais f x ,   f y ,   f z da nossa função e calculá-las nesse mesmo ponto. Como temos

  f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2

As derivadas parciais ficam

f x x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2

f y x , y , z = y x 2 + y 2 + z 2

f x x , y , z = z x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Calculando o valor de f x , y , z no ponto

f 1,0 , 1 = ln ⁡ 2  

Se calcularmos essas derivadas no mesmo ponto dado (1,0,1) temos

f x 1,0 , 1 = 1 2

f y 1,0 , 1 = 0

f z 1,0 , 1 = 1 2

Usando a expressão para a aproximação linear, temos

L x ,   y , z = ln ⁡ 2 + 1 2 x - 1 + 0 .   y - 0 + 1 2 z - 1   L x ,   y , z = 1 2 ln ⁡ 2 + x 2 - 1 2 + z 2 - 1 2 L x ,   y , z = 1 2 ln ⁡ 2 + x + z - 1  

Passo 3

Como desejamos usar essa aproximação linear para estimar o valor da função no ponto 1.005,0.007,1.01 basta que a gente substitua x por 1.005 , y por 0.007 e z por 1.01 em nossa expressão

L 1.005 ,   0.007 , 1.01 = 1 2 ln ⁡ 2 + 1.005 + 1.01 - 1

Usando l n 2 ≈ 0.69 temos

L 1.005 ,   0.007,1.01 = 0.35

Resposta

L 1.005 ,   0.007,1.01 = 0.35

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