Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear

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Enunciado

Encontre a equação da reta que melhor aproxima o gráfico de y = f x = x 19 / 3 para valores de x próximos de - 1 . Usando a equação desta reta, encontre um valor aproximado para ( - 1 ,   06 ) 19 / 3 .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinho?

A questão quer que encontremos a equação da reta que melhor aproxima do gráfico da função dada e utilize essa reta para obter um valor aproximado de ( - 1 ,   06 ) 19 / 3 , certo?

O que acontece é que a reta tangente é a reta que melhor aproxima a função do ponto. Observe isso na função abaixo.

A aproximação linear é feita pela seguinte fórmula:

f x 0 ≅ f ' x 0 x - x 0 + f ( x 0 )

Passo 2

Vamos então calcular a derivada da função.

f ' x = x 19 3 ' = 19 3 x 19 3 - 1 = 19 3 x 16 / 3

Passo 3

Agora vamos calcular nossa aproximação em x = - 1 . Para isso basta substituir -1 na função de aproximação.

f x 0 ≅ f ' x 0 x - x 0 + f ( x 0 )

Substituindo x = - 1

f - 1 ≅ f ' - 1 x - ( - 1 ) + f ( - 1 )

Substituindo a derivada da função

f - 1 ≅ 19 3 ( - 1 ) 16 / 3 x + 1 + ( - 1 ) 19 / 3

Passo 4

Vamos calcular as seguintes expressões

( - 1 ) 16 / 3 = ( - 1 ) 1 6 3 = - 1 3 = - 1

( - 1 ) 19 / 3 = ( - 1 ) 1 9 3 = - 1 3 = 1

Dica: o número -1 elevado a um número par ficará positivo. Já -1 elevado a um número ímpar ficará negativo.

Passo 5

Logo, nossa expressão de aproximação ficará

f - 1 ≅ 19 3 ( 1 ) x + 1 + ( - 1 )

Reescrevendo

f - 1 ≅ 19 3 x + 16 3

Uhuuu! Achamos a primeira parte!

Passo 6

O último passo é encontrar o valor aproximado pra ( - 1 ,   06 ) 19 / 3 .

Então é só substituir na equação que achamos.

f - 1 ≅ 19 3 x + 16 3

f - 1 ≅ 19 3 ( - 1 ,   06 ) + 16 3

Calculando

f - 1 ≅ - 20,14 + 16 3 ≅ - 1,38

Logo,

( - 1 ,   06 ) 19 / 3 ≅ - 1,38

Prontinho! Até mais!

Resposta

( - 1 ,   06 ) 19 / 3 ≅ - 1,38

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