Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005,Pg 230 exercício 28

A aproximação 1 + x k 1 + k x é frequentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos.

Deduza esse resultado e use-o para fazer uma estimativa grosseira de 1,001 37

Passo 1

Aqui ele quer que verifiquemos aquela aproximação que ele deu. Ele está aproximando a equação por uma reta, então isso é uma aproximação linear.

A grande questão aqui é qual a função que ele usou para aproximar e qual o ponto de referência.

A função é mais de boa de achar, isso porque ele aproxima 1 + x k , e essa vai ser nossa função:

f x = 1 + x k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o ponto de referência, para isso vamos fazer a aproximação linear para um ponto de referência qualquer a , primeiro precisamos da derivada de f x

f ' x = k 1 + x k - 1

A aproximação linear vai ser:

f x f a + f ' a x - a

Trocando os valores de f e f ' vamos ter:

f x 1 + a k + k 1 + a k - 1 x - a

Arrumando isso:

f x k 1 + a k - 1 x + 1 + a k - a k 1 + a k - 1

Vamos comparar isso com a equação que ele deu ali em cima:

k 1 + a k - 1 x + 1 + a k - a k 1 + a k - 1 = k x + 1

Isso nos diz que:

k 1 + a k - 1 = k

E:

1 + a k - a k 1 + a k - 1 = 1

Pela primeira equação vamos ter:

1 + a k - 1 = 1

Vamos substituir isso na segunda expressão:

1 + a k - 1 1 + a - a k 1 + a k - 1 = 1

1 + a - a k = 1

a - a k = 0

a = a k

Assim, como k pode ser qualquer valor:

a = 0

E temos o nosso ponto de referência, e a aproximação linear foi como ele queria.

Passo 3

Vamos agora fazer a aproximação do valor que ele pediu, 1,001 37 . Vamos ter, neste caso, k = 37 . Além disso devemos achar qual valor de x vamos usar na função, então vamos fazer

1,001 37 = 1 + x 37

Assim:

1 + x = 1,001

x = 0,001

A nossa aproximação linear vai ficar:

1,001 37 = f 0,001 1 + 37 0,001

1,001 37 1,037

Resposta

1,001 37 1,037

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