Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Contagem

Lista interna IME

As letras do código Morse são formadas por uma sucessão de traços e pontos com repetições permissíveis. Quantas letras podem-se formar com dez símbolos ou menos?

Passo 1

Vamos lá!! Antes de mais nada, precisamos entender que o Código Morse é formado por   - e . , podendo repetir cada um deles quantas vezes for necessário, beleza?!

Queremos ver quantas letras podemos formar com dez símbolos ou menos. Para isso, vamos começar pelo mais fácil e tentar encontrar um padrão para calcular quantas letras conseguimos formar com 10 símbolos. Show de bola?!

Se tivermos somente 1 símbolo, teremos somente 2 possibilidades: .   o u   - . Concorda?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se tivermos 2 símbolos, teremos as seguintes possibilidades:

N o   p r i m e i r o   s í m b o l o :   . o u   -

N o   s e g u n d o   s í m b o l o :   . o u   -

Portanto, teremos 2 2 possibilidades. Beleza?!

Podemos seguir o mesmo raciocínio para 3 símbolos. Teríamos as seguintes possibilidades:

N o   p r i m e i r o   s í m b o l o :   . o u   -

N o   s e g u n d o   s í m b o l o :   . o u   -

N o   t e r c e i r o   s í m b o l o :   . o u   -

Ou seja, 2 3 possibilidades.

Se tivermos 4 símbolos, teríamos 2 4 possibilidades e assim por diante...

Show de bola?!

Passo 3

Podemos repetir o mesmo raciocínio para 10 símbolos!!

Teremos então 2 10 possibilidades.

A quantidade de letras que podemos formar então é dada por:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10

Beleza?!

Resposta

∑ k = 1 10 2 k = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10

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