Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Contagem

UERJ-L1-PROF FABIANO-12

Uma urna I tem 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 1 verde; uma urna II tem 2 bolas brancas, 3 verdes e 1 vermelha; uma urna III tem 2 bolas brancas, 2 verdes e 2 vermelhas; uma urna IV tem 1 bola branca, 1 verde e 4 vermelhas. Retira-se ao acaso uma bola de cada uma das quartro urnas. Qual a probabilidade de que:

  1. Pelo menos uma bola seja verde;
  2. Três bolas sejam verdes;
  3. As bolas sejam alternadamente verdes.

Passo 1

A situação que a gente tem é:

U r n a   I :   B 1 ,   B 2 ,   B 3 ,   V 1 , V 2 , E 1

U r n a   I I : B 1 , B 2 , V 1 , E 1 , E 2 , E 3

U r n a   I I I : B 1 , B 2 , V 1 , V 2 , E 1 , E 2

U r n a   I V : { B 1 , V 1 , V 2 , V 3 , V 4 , E 1 }

E representa bola verde.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar novamente o conceito de probabilidade mais clássico.

P A = n° de resultados favoráveis n° de resultados possíveis = # A # ( Ω )

Vamos avaliar o n° de resultados possíveis e os favoráveis pra cada situação.

O número de resultados possíveis, considerando que são 6 bolas em cada urna, será:

6 × 6 × 6 × 6 = 1296

Já que pra cada urna a gente tem 6 possibilidades.

Passo 3

(a)

Pelo menos uma verde, é igual a 1 menos a probabilidade de nenhuma ser verde.

P p e l o   m e n o s   1   v e r d e = 1 - P ( n e n h u m a   s e r   v e r d e )

Vamos calcular então a probabilidade de não termos bolas verdes.

Para esse caso teremos:

5 × 3 × 4 × 5 = 300   p o s s i b i l i d a d e s

Já que temos 5 não verdes na u r n a   I , 3 na I I , 4 na I I I e 5 na I V .

A probabilidade de não sair nenhuma verde é então:

300 1296

Passo 4

Como nós queremos a de pelo menos uma ser verde, então a nossa probabilidade será:

1 - 300 1296 ≅ 0,77

Passo 5

(b)

Nesse caso temos 4 situações.

S 1 : tirar verde nas u r n a s   I ,   I I   e I I I e não verde na I V .

1 × 3 × 2 × 5 = 30   p o s s i b i l i d a d e s

Já que temos uma verde na I , 3 na I I , 2 na I I I e 5 não verdes na I V .

P S 1 = 30 1296

S 2 : tirar verde nas u r n a s   I ,   I I   e I V e não verde na I I I .

1 × 3 × 4 × 1 = 12   p o s s i b i l i d a d e s

Já que temos uma verde na I , 3 na I I , 1 na I V e 4 não verdes na I I I .

P S 2 = 12 1296

S 3 :   tirar verde nas u r n a s   I ,   I I I   e I V e não verde na I I

1 × 3 × 2 × 1 = 6

Já que temos uma verde na I , 2 na I I I , 1 na I V e 3 não verdes na I I .

P S 3 = 6 1296

S 4 :   tirar verde nas u r n a s   I I ,   I I I   e I V e não verde na I .

5 × 3 × 2 × 1 = 30   p o s s i b i l i d a d e s

Já que temos três verde na I I , 2 na I I I , 1 na I V e 5 não verdes na I .

P S 4 = 30 1296

Passo 6

A probabilidade que a gente quer então é só somar as 4 situações.

30 1296 + 12 1296 + 6 1296 + 30 1296 = 78 1296

≅ 0,06

Passo 7

(c)

Para as bolas serem alternadamente verdes a gente vai ter duas situações só:

S 1 : verde nas u r n a s   I e I I I e não verdes nas u r n a s   I I e I V .

1 × 3 × 2 × 5 = 30   p o s s i b i l i d a d e s

Porque são 1 verde na I , 2 na I I I e 3 não verdes na I I e 5 na I V .

P S 1 = 30 1296

S 2 : verde nas u r n a s   I I e I V e não verdes nas u r n a s   I e I I I .

5 × 3 × 4 × 1 = 60   p o s s i b i l i d a d e s

P S 2 = 60 1296

Passo 8

O resultado que a gente quer é só somar os dois:

30 1296 + 60 1296 = 90 1296

≅ 0,07

Resposta

a   0,77

b   0,06

c   0,07

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