Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Contagem

Ver Teoria

Enunciado

Uma máquina (A) produz 100   k g     de balas por dia, sendo que 14 %   das balas produzidas não atingem a especificação exigida por um supermercado. Uma nova máquina (B) foi adquirida e produz 200 k g   de balas por dia, sendo que 8 %   delas não atingem a especificação do supermercado. Sabe-se que a produção das duas máquinas é misturada. Coletada uma amostra aleatória de 12   balas da produção, a probabilidade de que esta amostra contenha exatamente duas balas fora da especificação é:

Passo 1

Fala pessoal, Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume, vamos anotar as informações passadas no enunciado, pois isso nos ajuda a ter uma ideia de como resolver a questão.

A máquina (A) produz 100   k g       de balas, mas 14 %     dessas são defeituosas

A máquina (B) produz 200   k g         de balas, mas 8 %     dessas são defeituosas.

Retiramos 12   balas da produção de um dia.

Queremos saber qual é a probabilidade de que tenhamos exatamente duas balas defeituosas nessa amostra?

Ou seja, estamos trabalhando com as balas da amostra, e não do conjunto todo.

Passo 2

Vamos começar calculando o numero total de balas defeituosas.

A máquina (A) produz 100   k g         , mas sabemos que 14 %       são defeituosas

Então a máquina (A) produz 14 k g   de balas defeituosas

A máquina (B) produz 200 k g     , mas sabemos que 8 %   são defeituosas

Então a máquina (B) produz 16 k g   de balas defeituosas

Então temos um total de 30 k g     de balas defeituosas e um total de 300 k g     de balas produzidas pelas duas máquinas

É muita bala, kkkkk

Passo 3

Bem, calculamos quantas balas defeituosas temos. Agora vamos retirar 12   balas desse conjunto de 300 k g   de balas. Qual seria a probabilidade a priori de retirarmos uma bala defeituosa? A priori? O que é isso?

É a probabilidade de observamos uma bala defeituosa sem sabermos se já retiramos uma bala aceitável ou defeituosa.

Sendo assim, a probabilidade, a priori, de retirarmos uma bala defeituosa é:

# b a l a s   d e f e i t u o s a s # t o t a l =   30 300

=   1 10

E a probabilidade a priori de observarmos uma bala aceitável é

# b a l a s   a c e i t a v e i s # t o t a l =   270 300

=   9 10

Passo 4

Agora que obtemos as probabilidades de observarmos uma bala aceitável e uma bala ruim. Vamos calcular a probabilidade de interesse.

Temos 12   balas. Suponha que as balas estejam arrumadas da seguinte maneira.

R   R   A   A   A   …   A  

Onde R   representa a bala ruim e A   a bala aceitável

A probabilidade dessa sequência é:

(pela independência entre as balas)

1 10 ⋅ 1 10 ⋅ 9 10 … ⋅ 9 10

= 0.01 ⋅ 0.9 10

Mas de quantas formas podemos ter 2   balas ruins em 12   ? Ora será 2   escolhe 12   . Então a probabilidade de observamos exatamente 2   balas ruins em 12   é:

12 ! 2 ! 10 ! 0.01 ⋅ 0.9 10

= 11 ⋅ 6 ⋅ 0.01 ⋅ 0.9 10

= 0.66 ⋅ 0.9 10

Terminamos mais uma questão! Espero que os passos tenham ficado claros. Bons estudos e até a próxima pessoal!!! 😊

Resposta

0.66 ⋅ 0.9 10

Exercícios de Livros Relacionados

Dez fichas numeradas de 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas X ,Y são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de que seja X + Y = 10 ?
Cada um dos cinco resultados possíveis de um experimento aleatório é igualmente provável. O espaço amostral é { a , b , c , d , e } . Seja A o evento { a , b } e B o evento { c , d , e } . Determine o
Corrida Há 50 corredores em uma competição. De quantos modos os corredores podem terminar em primeiro, segundo e terceiro lugares?
Se o último dígito de uma medida de peso for igualmente provável de ser qualquer um dos dígitos de 0 a 9.Qual é a probabilidade de que o último dígito seja 0?Qual é a probabilidade de que o último díg
Suponha que seu veículo seja licenciado em um estado que emite placas que consistam em três dígitos (entre 0 e 9), seguido de letras (entre A e Z). Se um número de placa for selecionado ao acaso, qual