Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Contagem

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Enunciado

Um processo de fabricação de um produto pode ser subdividido em três etapas. Quando não ocorrem problemas em nenhuma das etapas o custo do produto é 6 reais. No caso de problemas na primeira etapa considera-se um custo adicional de 1 real. No caso de problemas na segunda etapa considera-se um custo adicional de 2 reais, e no caso de problemas na terceira etapa considera-se um custo adicional de 3 reais. Podem ocorrer problemas em mais de uma etapa e estes são eventos independentes. Sabe-se que as probabilidades de ocorrerem problemas nas etapas são: 10% na primeira, 20% na segunda e 30% na terceira. Qual a probabilidade de o custo final de um produto selecionado aleatoriamente ser estritamente superior a 6 reais e estritamente inferior a 10 reais?

Passo 1

Fala pessoal. Vamos Resolver mais uma questão. Como de costume, iremos anotar todas as informações passadas no enunciado e o que queremos calcular.

Temos que:

  • Custo base é 6
  • Se ocorre erro na etapa 1 custo aumenta em 1
  • Se ocorre erro na etapa 2 custo aumenta em 2
  • Se ocorre erro na etapa 3 custo aumenta em 3

Seja A i o evento que representa erro na etapa i   então:

  • P A 1   =   0.1 ; P A 2   =   0.2 ; P A 3   =   0.3
  • Os eventos A i são independentes

Queremos P 6 < c u s t o < 10

Passo 2

Agora que organizamos as informações da questão podemos começar a resolve-lá

Primeiro, note que:

P 6 < c u s t o < 10 =   P c u s t o   =     7   +   P c u s t o   =     8   +   P c u s t o   =     9

Passo 3

Precisamos fazer um estudo de caso, i.e verificar quais são as condições que fazem o custo ser 7, 8, ou 9.

  • Custo é 7 se e somente se ocorrer erro na etapa 1
  • Custo é 8 se e somente se ocorrer erro na etapa 2
  • Custo é 9 se ocorre erro na etapa 3 ou ocorre erro nas etapas 1 e 2

Agora podemos calcular as probabilidades de cada custo

Passo 4

P c u s t o   =     7   =   P e r r o   s ó   n a   e t a p a   1 =   0.1 ⋅ 0.8 ⋅ 0.7  

P c u s t o   =     8   = P e r r o   s ó   n a   e t a p a   2 = 0.9 ⋅ 0.2 ⋅ 0.7  

P c u s t o   =     9   = P e r r o   s ó   n a   e t a p a   3   +   P e r r o   n a   1   e   n a   2 =   0.9 ⋅ 0.8 ⋅ 0.3   +   0.1 ⋅ 0.2 ⋅ 0.7  

P 6 < c u s t o < 10 =   P c u s t o   =     7   +   P c u s t o   =     8   +   P c u s t o   =     9

⇒   P 6 < c u s t o < 10   =   0,412

Resposta

0,412  

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