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Exercícios Resolvidos de Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico

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Enunciado

Uma casca esférica condutora de raio interno R 2 e externo R 3 é concêntrica a uma casca esférica condutora fina de raio R 1 . A casca esférica fina tem uma carga total + q e a carga total da casca externa é zero, sendo que ambas estão isoladas.

a ) Determine a densidade de carga em cada superfície da camada;

b ) Encontre as expressões para o potencial elétrico V r em todo espaço: r < R 1 , R 1 < r < R 2 , R 2 < r < R 3 e r > R 3 . Suponha que V r = 0 no infinito;

c ) Calcule a diferença de potencial entre os ponto A e B na camada esférica externa;

Passo 1

a ) Determine a densidade de carga em cada superfície da camada;

O que vai acontecer aqui é o seguinte... no condutor, a resistência do material tende a zero, isso significa que os elétrons podem viajar tranquilamente no interior do condutor, quando excitados por um campo elétrico, no caso.

Assim, como temos uma casca fina de carga + q no interior da camada esférica, essa carga + q vai induzir uma concentração de carga negativa igual a - q na superfície interna.

Entretanto, a carga total do condutor não pode ser alterada, isso quer dizer que, se a superfície interna terá carga - q , para que a carga total do condutor continue nula, a carga na superfície externa deverá ter carga + q :

- q + q = 0

Logo:

q i n t = - q

q e x t = + q

Passo 2

Por definição, a densidade superficial de carga é dada por:

σ = Q A

Em que A é a área da superfície esférica.

Logo:

σ i n t = q i n t A i n t

σ i n t = - q 4 π R 2 2

σ e x t = q e x t A e x t

σ e x t = q 4 π R 3 2

Passo 3

b ) Encontre as expressões para o potencial elétrico V r em todo espaço: r < R 1 , R 1 < r < R 2 , R 2 < r < R 3 e r > R 3 . Suponha que V r = 0 no infinito;

Para todos os casos, o campo elétrico pode ser determinado pela Lei de Gauss

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como o problema possui uma geometria esférica, o campo elétrico vai ser sempre essa cara:

E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Por definição, o potencial elétrico é dado por:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

Nesse caso:

Δ V = - Q i n t 4 π ϵ 0 ∫ i f d r r 2

Lembrando que ∫ d r / r 2 é - 1 / r .

Δ V = Q i n t 4 π ϵ 0   1 r i f

Onde i é o ponto inicial e f é o ponto final.

Agora o que precisamos fazer é aplicar isso a cada caso.

Passo 4

Nós vamos começar pela região mais externa, pois a ideia é ir usando os potenciais das regiões externas para descobrirmos os potenciais das regiões mais internas.

Pra tentar facilitar a nossa vida, vamos nomear alguns outros pontos aqui:

  • r > R 3
  • Δ V = V r - V ∞ = q 4 π ϵ 0   1 r ∞ r

    V r - 0 = q 4 π ϵ 0 r

    V r = q 4 π ϵ 0 r

  • R 2 < r < R 3
  • Essa região corresponde ao interior do condutor... então preciso te lembrar de algo que você tem que prometer pra mim que vai carregar contigo pela vida inteira... no interior de um condutor, o campo elétrico é SEMPRE igual a zero, portanto:

    Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r → = - ∫ 0   d r

    V C - V A = 0

    V C = V A

    V C = q 4 π ϵ 0 R 3

  • R 1 < r < R 2
  • Δ V = V D - V C = q 4 π ϵ 0   1 r R 2 r

    V D - q 4 π ϵ 0 R 3 = q 4 π ϵ 0   1 r - 1 R 2

    V D = q 4 π ϵ 0 1 r + 1 R 3 - 1 R 2

  • r < R 1
  • Nessa região, como não temos nenhuma carga interna, E → = 0

    V E - V D = - ∫ 0   d r

    V E = V D

    V E = q 4 π ϵ 0 1 r + 1 R 3 - 1 R 2

    Passo 5

    c ) Calcule a diferença de potencial entre os ponto A e B na camada esférica externa;

    Entre as superfícies do condutor, como não há campo elétrico:

    Δ V = 0

    V A - V B = 0

    Resposta

    a )

    σ i n t = - q 4 π R 2 2

    σ e x t = q 4 π R 3 2

    b )

  • r > R 3
  • V r = q 4 π ϵ 0 r

  • R 2 < r < R 3
  • V C = q 4 π ϵ 0 R 3

  • R 1 < r < R 2
  • V D = q 4 π ϵ 0 1 r + 1 R 3 - 1 R 2

  • r < R 1

V E = q 4 π ϵ 0 1 r + 1 R 3 - 1 R 2

c )

V A - V B = 0

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