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Exercícios Resolvidos de Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico

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Enunciado

O eixo de um cilindro condutor de 3   m e t r o s de raio dista 5   m e t r o s do plano y z conforme a figura. O cilindro é infinito na direção z perpendicular ao plano da figura e todo o semiespaço x ≤ 0 é preenchido com um material condutor.

O potencial eletrostático num ponto de coordenadas ( x ,   y ,   z ) no espaço fora dos condutores é dado por

V x , y , z = 100 ln ⁡ x + 4 2 + y 2 x - 4 2 + y 2   v o l t s ,

onde x ,   y e z são em metros.

a ) Determine o potencial no ponto C do eixo do cilindro condutor x = 5   m ,   y = z = 0   m .

b ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço, inclusive no interior dos condutores.

Passo 1

a ) Determine o potencial no ponto C do eixo do cilindro condutor x = 5   m ,   y = z = 0   m .

O potencial que o exercício nos deu é

V x , y , z = 100 ln ⁡ x + 4 2 + y 2 x - 4 2 + y 2  

Só que esse potencial só serve pra região FORA dos condutores!

Mas tem um macete aqui! Lembra que o potencial dentro de condutores tem que ser constante (já que o campo elétrico no seu interior é nulo)? Então isso significa que o potencial na borda do cilindro é igual ao potencial no seu centro, ou seja

V P = V C

Então pra calcular o potencial no centro do cilindro, basta calcular o potencial no ponto P .

Olhando a figura as coordenadas do ponto P são ( 5 ,   - 3 ) . Substituindo essas coordenadas no potencial temos

V P = 100 ln ⁡ 5 + 4 2 + - 3 2 5 - 4 2 + - 3 2 = 100 ln ⁡ 9 2 + 9 1 2 + 9 = 100 ln ⁡ 90 10 = 100 ln ⁡ 9 = 200 ln ⁡ 3

Assim o potencial no ponto C será

V C = 200 ln ⁡ 3   v o l t s

Passo 2

b ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço, inclusive no interior dos condutores.

Por definição:

E = - d V d r

Onde:

V x , y , z = 100 ln ⁡ x + 4 2 + y 2 x - 4 2 + y 2

Pra descobrir cada componente do campo elétrico, temos que derivar parcialmente V em função de cada uma das coordenadas x ,   y e z .

E x = - ∂ V ∂ x = - 200 x + 4 x + 4 2 + y 2 - x - 4 x - 4 2 + y 2   ( V / m )

E y = - ∂ V ∂ y = - 200 y x + 4 2 + y 2 - y x - 4 2 + y 2   ( V / m )

E z = - ∂ V ∂ z = 0

Por fim, o problema pede pra calcular também o campo no interior dos condutores... aí tem um detalhe que você jamais pode esquecer: o campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo!

Resposta

a )

V C = 200 ln ⁡ 3 V

b )

Fora dos condutores

E x = - 200 x + 4 x + 4 2 + y 2 - x - 4 x - 4 2 + y 2   ( V / m )

E y = - 200 y x + 4 2 + y 2 - y x - 4 2 + y 2   ( V / m )

E z = 0

Dentro dos condutores

E → = 0

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