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Exercícios Resolvidos de Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico

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Enunciado

Q 2 - Uma esfera não-condutora de raio a , carregada com carga + 2 q , é envolvida por uma camada esférica condutora, de raio interno b e raio externo c , carregada com uma carga - 3 q .

a ) Encontre o vetor campo elétrico para todos os pontos do espaço ( r < a ,   a < r < b ,   b < r < c ,   r > c ) .

b ) Calcule o potencial elétrico para todos os pontos do espaço ( r < a ,   a < r < b , b < r < c ,   r > c ) . Considere V = 0 em r = 0 .

c ) Qual o trabalho realizado pelo campo elétrico para mover uma carga de prova q 0 entre os pontos r = a e r = b ? Justifique sua resposta e lembre-se que o sinal tem significado físico.

Passo 1

Vem comigo que a gente vai se livrar dessa juntos!

Para encontrar o campo elétrico em cada ponto do espaço vamos usar a lei de Gauss ao nosso favor, dada por:

∮ S E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

Onde S é a superfície Gaussiana que vamos utilizar para envolver a região que vamos analisar.

Para achar o potencial em todas a regiões vamos usar a seguinte equação:

E → = ∇ → V

Onde ∇ → vai ter que ser em coordenadas esféricas devido a ao fato de estarmos lidando com esferas.

Agora o trabalho pedido ( c ) podemos encontrar da seguinte forma:

W = q Δ V

⇒ W = q 0 ( V b - V a )

Passo 2

Vamos começar encontrando o campo na região r < a .

Vamos considerar uma esfera gaussiana com raio r < a , vamos aplicar a lei de Gauss para essa superfície, temos:

∮ E → ⋅ d A → = q i ϵ 0

Onde q i é a carga dentro dessa superfície que traçamos. Mas como descobrir quanto vale essa carga?

Então, a carga 2 q é distribuída uniformemente na esfera de raio a então a densidade de carga por volume é a mesma em qualquer ponto da esfera, assim temos que:

q i 4 3 π r 3 = 2 q 4 3 π a 3

⇒ q i = 2 q r 3 a 3

Então temos que:

∮ E → ⋅ d A → = 1 ϵ 0 2 q r 3 a 3

Agora olhando a integral do lado esquerdo, podemos colocar E → para fora dela já que não tem motivo para esse campo não ser homogêneo ao longo da superfície, já que ele é radial. Então:

E → ∮ d A → = 1 ϵ 0 2 q r 3 a 3

A integral de d A → nos fornece a área da superfície gaussiana que consideremos, assim:

E → 4 π R 2 = 1 ϵ 0 2 q r 3 a 3

⇒ E → = q 2 π ϵ 0 a 3 r r ^

Como podemos ver para r < a o campo cresce a medida que r aumenta.

Passo 3

Agora vamos considerar a região a < r < b .

Vamos de novo considerar uma superfície Gaussiana com um raio a < r < b , vamos aplicar a lei de Gauss para essa superfície, temos:

∮ E → ⋅ d A → = q i ϵ 0

A carga q i dentro da nossa superfície nesse caso é carga da esfera, então:

q i = 2 q

Com isso, ficamos com:

∮ E → ⋅ d A → = 2 q ϵ 0

Podemos jogar E → para fora da integral pelo mesmo motivo de antes, com isso temos que:

E → ∮ d A → = 2 q ϵ 0

⇒ E → 4 π r 2 = 2 q ϵ 0

Então temos que o campo nessa região é dado por:

E → = q 2 π ϵ 0 r 2 r ^

Podemos ver que o campo cai com r 2 nessa região.

Passo 4

Agora vamos considerar a região b < r < c .

Nessa região estamos dentro do condutor, então temos que o campo elétrico nessa região é zero, já que isso é uma característica dos condutores.

Agora a região c > r .

Vamos fazer o mesmo processo que fizemos nas outras regiões, vamos considerar uma gaussiana com raio r > c . Aplicando a lei de Gauss para essa superfície, temos:

∮ E → ⋅ d A → = q i ϵ 0

A carga q i dentro da nossa superfície nesse caso é carga da esfera mais a carga da casca condutora, então:

q i = 2 q - 3 q = - q

Com isso, ficamos com:

∮ E → ⋅ d A → = - q ϵ 0

Podemos jogar E → para fora da integral pelo mesmo motivo de antes, com isso temos que:

E → ∮ d A → = - q ϵ 0

⇒ E → 4 π r 2 = - q ϵ 0

Então temos que o campo nessa região é dado por:

E → = - q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Podemos ver que o campo cai com r 2 nessa região.

Passo 5

Agora vamos atrás do que é pedido em ( b ) . Para isso vamos usar que:

E → = - ∇ → V

Como o campo em todas a regiões é radial, só a parte relacionada a r ^ vai nos interessar de ∇ → .

Então para r < a , temos que:

q 2 π ϵ 0 a 3 r r ^ = - ∂ V ∂ r r ^

⇒ ∂ V ∂ r = - q 2 π ϵ 0 a 3 r

⇒ ∂ V = - q 2 π ϵ 0 a 3 r ∂ r

Integrando os dois lados temos:

V = - q 2 π ϵ 0 a 3 r 2 2 + C

Segundo o enunciado temos que ter V = 0 para r = 0 , então temos que C = 0 , assim temos:

V = - q 4 π ϵ 0 a 3 r 2

Passo 6

Agora vamos avaliar a região onde a < r < b . Fazendo o mesmo que fizemos antes, temos:

E → = - ∇ → V

⇒ q 2 π ϵ 0 r 2 r ^ = - ∂ V ∂ r r ^

⇒ ∂ V ∂ r = - q 2 π ϵ 0 r 2

⇒ ∂ V = - q 2 π ϵ 0 r 2 ∂ r

Integrando os dois lados, temos:

V = q 2 π ϵ 0 r + C

Usando a condição de contorno de que em r = a o potencial da região onde r < a deve ser igual ao potencial da região a < r < b , assim:

q 2 π ϵ 0 a + C = - q 4 π ϵ 0 a

⇒ C = - q 4 π ϵ 0 a - q 2 π ϵ 0 a

⇒ C = - 3 q 4 π ϵ 0 a

Com isso temos que:

V = q 2 π ϵ 0 r - 3 q 4 π ϵ 0 a

Passo 7

Agora vamos para a região b < r < c , nessa região temos o campo elétrico igual a zero, então nosso potencial acaba sendo zero nessa região.

Por último vamos analisar a região onde r > c .

Vamos fazer a mesma coisa que fizemos anteriormente, assim temos que:

E → = - ∇ → V

⇒ - q 4 π ϵ 0 r 2 r ^ = - ∂ V ∂ r r ^

⇒ ∂ V ∂ r = q 4 π ϵ 0 r 2

⇒ ∂ V = q 4 π ϵ 0 r 2 ∂ r

Integrando os dois lados, temos que:

V = - q 4 π ϵ 0 r + C

Pelas condições de contorno temos que o potencial em r = c na região r > c , deve ser igual ao potencial em r = b na região a < r < b , já que não tem porque o valor do potencial ser descontinuo tirando o condutor, então:

- q 4 π ϵ 0 c + C = q 2 π ϵ 0 b - 3 q 4 π ϵ 0 a

⇒ C = q 4 π ϵ 0 2 b - 3 4 a + 1 4 c

Assim temos que:

V = - q 4 π ϵ 0 r + q 4 π ϵ 0 2 b - 3 4 a + 1 4 c

Passo 8

Agora vamos atrás do trabalho pedido em c , temos que encontrar aqui o trabalho realizado pelo campo elétrico, isso é, pela força elétrica. Lembrando que, como a força elétrica é uma força conservativa, o seu trabalho é dado por:

W = - Δ U

Isso é, o trabalho será igual a menos a variação de energia potencial elétrica, e a energia potencial elétrica é:

U = q V

Aqui, queremos o trabalho realizado para ir do ponto a até o ponto b , logo:

W = - U f - U i

W = - U b - U a

W = - ( q 0 V b - q 0 V a )

W = - q 0 ( V b - V a )

Onde, temos que:

V b = q 2 π ϵ 0 b - 3 q 4 π ϵ 0 a

V a = q 2 π ϵ 0 a - 3 q 4 π ϵ 0 a

Jogando isso na equação para o trabalho, temos:

W = - q 0 q 2 π ϵ 0 b - 3 q 4 π ϵ 0 a - q 2 π ϵ 0 a + 3 q 4 π ϵ 0 a

= - q 0 q 2 π ϵ 0 b - q 2 π ϵ 0 a

Com isso temos que:

W = - q 0 q 2 π ϵ 0 1 b - 1 a

Prontinho, conseguimos fazer tudo que o problema pedia!

Resposta

( a )

r < a :

E → = q 2 π ϵ 0 a 3 r r ^

a < r < b :

E → = q 2 π ϵ 0 r 2 r ^

b < r < c :

E → = 0

r > c :

E → = - q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

( b )

r < a :

V = - q 4 π ϵ 0 a 3 r 2

a < r < b :

V = q 2 π ϵ 0 r - 3 q 4 π ϵ 0 a

b < r < c :

V = 0

r > c :

V = - q 4 π ϵ 0 r + q 4 π ϵ 0 2 b - 3 4 a + 1 4 c

c

W = - q 0 q 2 π ϵ 0 1 b - 1 a

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