Exercícios Resolvidos de Ciclo de Carnot

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Enunciado

1 . O ciclo de Brayton é uma representação dos processos térmicos que ocorrem nas turbinas a gás, como as usadas na aviação. Suponhamos que se trata de n moles de um gás ideal com C P = 5 2 R . O ciclo se divide em 4 etapas, incluindo uma compressão e uma expansão adiabáticas reversíveis, como mostra a figura abaixo:

( a ) Calcule o trabalho realizado em cada etapa do ciclo em termos das temperaturas nos

pontos 1 ,   2 ,   3 e 4 .

( b ) Calcule o rendimento do ciclo de Brayton.

Passo 1

Vem comigo que a gente vai detonar essa questão!

Temos em mãos um problema envolvendo máquina térmica.

O item ( a ) pede o trabalho em cada etapa do processo. Vamos então ver o que temos em cada etapa do processo da máquina usando a primeira lei da termodinâmica.

Na primeira etapa 1 → 2 temos um processo adiabático, Q = 0 , então temos que:

W 12 = - Δ U 12

Na segunda etapa 2 → 3 temos uma variação no volume a pressão constante, assim temos:

W 23 = P Δ V = P V 3 - P V 2

Na terceira etapa 3 → 4 temos outro processo adiabático, Q = 0 , então temos que:

W 34 = - Δ U 34

Na segunda etapa 4 → 1 temos uma variação no volume a pressão constante, assim temos:

W 41 = P Δ V = P V 1 - P V 4

Para terminar de encontrar o trabalho em cada etapa vamos usar o fato de que para um gás ideal a energia interna é dada por:

Δ U = 3 2 n R Δ T

E vamos usar também a equação dos gases ideais, dada por:

P V = n R T

Para o item ( b ) para encontrar o rendimento vamos usar a seguinte equação que nos fornece esse rendimento.

η = W T Q R

Onde W T é o trabalho total do processo e Q R é o calor recebido pelo sistema que ocorre na etapa 2 → 3 .

Vamos nessa então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

1 → 2 . Temos que:

W 12 = - Δ U 12

⇒ W 12 = - 3 2 n R T 2 - T 1

⇒ W 12 = 3 2 n R T 1 - T 2

2 → 3 . Temos:

W 23 = P V 3 - P V 2

⇒ W 23 = n R T 3 - n R T 2

⇒ W 23 = n R ( T 3 - T 2 )

3 → 4 . Temos que:

W 34 = - Δ U 34

⇒ W 34 = - 3 2 n R T 4 - T 3

⇒ W 34 = 3 2 n R T 3 - T 4

4 → 1 . Temos:

W 41 = P V 1 - P V 4

⇒ W 41 = n R T 1 - n R T 4

⇒ W 41 = n R ( T 1 - T 4 )

Prontinho, terminamos o item ( a ) .

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) . Temos que o rendimento é dado por:

η = W T Q R

Vamos primeiro encontrar o trabalho total, é dado por:

W T = W 12 + W 2 3 + W 34 + W 41

Temos então:

W T = 3 2 n R T 1 - T 2 + n R T 3 - T 2 + 3 2 n R T 3 - T 4 + n R ( T 1 - T 4 )

= n R 3 2 T 1 - 3 2 T 2 + T 3 - T 2 + 3 2 T 3 - 3 2 T 4 + T 1 - T 4

= n R 5 2 T 1 - 5 2 T 2 + 5 2 T 3 - 5 2 T 4

Então temos:

W T = 5 2 n R T 1 - T 2 + T 3 - T 4

Agora temos que o calor recebido pelo sistema na etapa 2 → 3 é dado por:

Q R = n C P Δ T

⇒ Q R = Q 23 = n C P ( T 3 - T 2 )

= 5 2 n R ( T 3 - T 2 )

Então temos que o rendimento é:

η = 5 2 n R T 1 - T 2 + T 3 - T 4 5 2 n R ( T 3 - T 2 )

= T 3 - T 2 + ( T 1 - T 4 ) ( T 3 - T 2 )

Então temos que:

η = 1 + T 1 - T 4 T 3 - T 2

E com isso terminamos essa parte do problema!

Resposta

( a )

W 12 = 3 2 n R T 1 - T 2

W 23 = n R ( T 3 - T 2 )

W 34 = 3 2 n R T 3 - T 4

W 41 = n R ( T 1 - T 4 )

( b )

η = 1 + T 1 - T 4 T 3 - T 2

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