Exercícios Resolvidos de Ciclo de Carnot

Origem do Exercício

A máquina de Stirling funciona com um ciclo termodinâmico formado de 4 processos mostrados no diagrama p - V ao lado. Os processos A B   e   C D são isotérmicos enquanto B C   e   D A são isovolumétricos.Suponha que a substância de trabalho são 2,00   m o l s de um gás ideal diatômico e que o motor opera entre as temperaturas T q   =   500   K e T f   =   400   K . (Quando necessário use R   =   8   J / m o l . K e l n ( 3 )   =   1 ).

  1. Calcule, para o ciclo, o calor absorvido e o trabalho realizado pelo gás sabendo que V 2 = 3 V 1 .
  2. Calcule a eficiência deste motor e compare com a eficiência de uma máquina de Carnot operando entre as temperaturas mais alta e mais baixa do ciclo. Expresse os resultados na forma de fração.

Passo 1

O calor é absorvido em processos onde há o crescimento da pressão ou do volume. Ou seja, em D A   e   A B .

Em D A ocorre uma transferência à volume constante, ou seja:

Q D A = n c v T q - T F = 2 . 5 R 2 500 - 400 = 2 . 5.8 2 100 = 4000 J

Observe que foram colocadas as temperaturas das isotermas, pois elas coincidem com o final dos processos isovolumétricos. Além disso, perceba que usamos 5 R 2 para o c v , já que o gás é diatômico.

Em relação ao processo A B , como o mesmo é isotérmico, vamos ter:

∆ U = 0

∆ U = Q - W = 0 → Q = W = ∫ p d V

Para uma isoterma:

p V = n R T → p = n R T V

Assim:

Q A B = W A B = ∫ n R T V d V = n R T ∫ d V V = n R T l n V f V i = n R T q ln ⁡ V 2 V 1

Q A B = 2.8 . 500 ln ⁡ 3 V 1 V 1 = 2.8 . 500 ln ⁡ 3 = 2.8 . 500.1 = 8000 J

Assim, o calor absorvido total vale:

Q a b s = 8000 + 4000 = 12000 J

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já o trabalho total vai ser a soma de todos os trabalhos:

W t o t a l = W A B + W B C + W C D + W D A

Como D A   e   B C ocorrem a volume constante:

W D A = W B C = 0

Os outros dois trabalhos são calculados como trabalhos de isotermas, como fizemos antes. Já calculamos o W A B :

W A B = 8000 J

E o W C D :

W C D = n R T l n V F V i = n R T F ln ⁡ V 1 V 2 = 2.8 . 400 ln ⁡ 1 3 = 2.8 . 400 ln ⁡ 3 - 1

ln ⁡ 3 - 1 = - ln ⁡ 3

W C D = - 2.8 . 400 ln ⁡ 3 = - 6400 J

Assim:

W t o t a l = W A B + W B C + W C D + W D A = 8000 - 6400 = 1600 J

Passo 3

b)

A eficiência desse ciclo é dada por:

e c i c l o = W t o t a l Q a b s = 1600 12000 = 2 15

E o de Carnot:

e c a r n o t = 1 - T f T q = 1 - 400 500 = 1 - 4 5 = 1 5

Como:

1 5 > 2 15

Então:

e c a r n o t > e c i c l o

Como era de se esperar.

Resposta

a)

Q a b s = 12000 J

W t o t a l = 1600 J

b)

e c i c l o = 2 15

e c a r n o t = 1 5

e c a r n o t > e c i c l o

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