Exercícios Resolvidos de Ciclo de Carnot

Uma máquina térmica funciona seguindo o ciclo mostrado na figura abaixo. A substância de trabalho é 2,0   m o l s de gás hélio (monoatômico), considerado ideal, o qual atinge uma temperatura máxima de 327 ° C . O processo b c é isotérmico. A pressão nos estados a e c vale 1,0 x 10 5   P a , e a pressão no estado b vale 3,0 x 10 5   P a .

a Encontre a quantidade de calor que o gás recebe em cada um dos 3 trechos, indicando o seu sinal (positivo quando calor entra e negativo quando sai).

b Qual o trabalho total realizado pelo gás no ciclo?

c Qual a eficiência dessa máquina?

d Suponha que essa máquina opere com uma fonte quente e outra fria. Qual a temperatura mínima, T Q , que deve ter a fonte quente? Qual a temperatura máxima, T F , que deve ter a fonte fria? Explique.

e Qual a razão entre a eficiência dessa máquina e a máxima eficiência possível para uma máquina que opera entre as mesmas temperaturas, T Q e T F .

W i s o t e r m a s a í d a = n R T l n V f V i

Justifique as respostas.

(dica: pode ser útil preencher a tabela abaixo)

Passo 1

a Na teoria vimos que para cada processo temos um meio de calcular a quantidade de calor.

Então vamos determinar o tipo de processo em cada etapa para podemos saber qual fórmula de quantidade de calor usar.

O processo A B mantem o volume, então é isovolumétrico. E por isso calculamos a quantidade de calor por:

Q = n c v Δ T

Onde c v vale 3 R / 2   porque o gás é monoatômico.

O processo B C é isotérmico, e por isso a variação da energia interna é zero. E pela primeira lei da termodinâmica, temos:

Δ U = Q - W = 0

Q = W

E a fórmula de trabalho em um processo isotérmico foi dada pela questão

Q = W i s o t e r m a s a í d a = n R T l n V f V i

Já o processo C A é isobárico, ou seja, mantem a pressão constante. E por isso a quantidade de calor é dada por:

Q = n c p . Δ T

Lembrando que c p - c v = R , então c p irá valer

c p = R + 3 2 R = 5 2 R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A dica da questão ainda fala em preenchermos a tabela, a tabela irá concentrar as informações que teríamos que descobrir ao longo da questão para resolvê-la.

Então, vamos ver os dados que já temos dessa tabela. O enunciado nos deu as pressões. E a temperatura máxima.

A temperatura máxima é 327 ° C , essa é a temperatura dos pontos b e c , pois pelo gráfico vemos que a isoterma em que eles estão está acima da isoterma que a está.

Bom, ainda temos que encontrar a temperatura que temos em a e para isso vamos usar ”PiViTi-PoVoTo”:

P a V a T a = P b V b T b

Por que vamos fazer isso entre os estados a e b ? Primeiro porque queremos a temperatura em a , então o estado a tem que estar incluso, e escolhemos b , porque o processo a b é isovolumétrico, então não precisamos saber o volume e isso é essencial, porque realmente não temos o volume dos estados.

1 x 10 5 273 + T a = 3 x 10 5 273 + 327

Como temos a temperatura em graus Celsius, temos que transforma-la em Kelvin, por isso somamos ela a 273 .

T a = 1 3 . 600 - 273

T a = - 73 ° C = 200 K

Agora temos as pressões e temperaturas, falta apenas os volumes. Mas tendo temperatura, numero de mols e pressão fica mole achar o volume. Só usar a equação geral dos gases.

P a . V a = n R T a

V a = 2.8,31.200 1 x 10 5

V a = 0,033   m 3

O volume no estado a é o mesmo que no estado b , então:

V a = V b = 0,033   m 3

Agora, vamos encontrar o volume em c . Analogamente ao que fizemos para calcular o volume em a :

V c = n T T c P c = 2.8,31,600 1 x 10 5

V c = 0,099   m 3

A tabela preenchida ficou assim:

Passo 3

Agora, podemos voltar ao item a e calcular a quantidade de calor de cada etapa, começando pelo processo a b :

Como já vimos, a quantidade de calor será dada por:

  Q a b = n . c v . Δ T = 2 . 3 R 2 . 600 - 200

Q a b = 1200 . R = 9972   J

A quantidade de calor no processo b c , será igual ao trabalho e será dada por:

Q b c = W b c = 2.8,31.600 . ln ⁡ 0,099 0,033

Q b c = 1318 . R = 10955   J

E no último processo " c a ” a quantidade de calor é:

Q c a = n c p , Δ T = 2 . 5 R 2 . 200 - 600

Q c a = - 2000 R = - 16620   J  

Passo 4

b   O trabalho total é a soma do trabalho de cada processo

W t o t a l = W a b + W b c + W c a

Como o processo a b é isovolumétrico, então o trabalho é zero, pois o volume não varia.

W a b = 0  

O trabalho do processo b c já calculamos e ele vale:

W b c = 1 1318 . R = 10955   J

Só falta descobrirmos o valor do trabalho do processo c a . Como vimos na teoria o trabalho tem módulo igual a área sobe a curva que descreve o caminho do processo. E o sinal é o mesmo que o da variação de volume, que nesse caso é negativo.

W c a = - Á r e a c a

Á r e a c a = b . h = 0,099 6 - 0,033 2 . 1 x 10 5

Á r e a   c a = 66 4 0

Temos a área, assim o trabalho será:

W c a = - 66 4 0   J

O trabalho total será soma do trabalho de cada processo e por isso:

W t o t a l = 0 + 10955 - 66 4 0

W t o t a l = 4 315   J

Passo 5

c   A eficiência de uma máquina térmica é dada pela razão do trabalho total pela quantidade de calor absorvida pelo gás.

ɳ = W t o t a l Q q

O trabalho total nós terminamos de encontrar no item b , e no item a encontramos o calor transferido em cada processo, sendo sinal positivo o calor absorvido e sinal negativo o calor cedido pelo gás.

Assim, termos que a eficiência é dada por:

ɳ = 4455 9972 + 10955 = 0,21

ɳ = 21 %

Passo 6

d O enunciado nos forneceu a temperatura máxima desse ciclo certo? 600   K e a gente calculo a temperatura no ponto a e pelo gráfico que esse ponto é o ponto que passa a menor isoterma do ciclo, sendo assim T a a menor temperatura 200   K .

De vermelho temos algumas isotermas, mostrando que T a é a temperatura mínima desse ciclo.

Vamos ao que a questão pediu agora, ela quer a mínima temperatura quente T q que esse ciclo pode operar. Como o próprio nome diz: temperatura quente, é a temperatura da fonte de calor, que vai emitir calor. Então será 600   K , pois essa é nossa temperatura máxima, se T q fosse menor que 600   K , teria algum momento que a fonte que deveria fornecer calor iria receber, pois o nosso ciclo opera até 600   K , então a temperatura quente não pode ser menor que a nossa máxima temperatura.

E a máxima temperatura fria que poderíamos ter? A temperatura fria T f é a temperatura da fonte que recebe calor, e por isso ela deve ser no máximo 200   K , pois se ela tivesse temperatura maior que 200   K , quando o sistema atingisse a temperatura mínima que ele opera 200 K a fonte que deveria apenas receber calor estaria emitindo. Por isso a máxima temperatura de T f é 200   K .

Passo 7

e   A máxima eficiência de uma máquina térmica é quando essa máquina opera pelo ciclo de Carnot. E a eficiência no ciclo de Carnot é dada por:

ɳ = 1 - T f T q = 1 - 200 600 = 0,66666 = 67 %

A questão quer saber a razão entre a eficiência da nossa máquina (encontramos essa eficiência no item c ) pela eficiência máxima possível para essas temperaturas (foi o que terminamos de calcular).

Assim a razão desejada é:

ɳ ɳ c a r n o t = 0,21 0,67 = 0,31  

Resposta

a Q a b = 9972   J ; Q b c = 10955 ; Q c a = - 16620   J  

b   W t o t a l = 4455   J

c   ɳ = 21 %

d   T q ≥ 600   K ; T f ≤ 200   K

e   ɳ ɳ c a r n o t = 0,31  

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