Exercícios Resolvidos de Ciclo de Carnot

UFRJ, Física 2, P1 - 2017.1, Questão D1

Um gás ideal de coeficiente adiabático γ é submetido ao ciclo mostrado na figura, onde ab é um segmento de reta.

i) Calcule o trabalho e o calor no ciclo completo.

ii) Este ciclo representa um motor térmico ou um refrigerador? Justifique.

iii) Determine a temperatura do sistema nos pontos a, b e c.

iv) Considerando a maior e a menor temperatura, determine o rendimento de uma máquina de Carnot operando entre estes valores.

v) Determine o calor nos processos a b , b c e c a em termos das constantes C V (calor específico a volume constante) e R (constante universal dos gases). Indique se cada um deles é absorvido ou rejeitado pelo gás.

vi) Calcule o rendimento desta máquina térmica como função de γ . Este rendimento é maior ou menor que o de Carnot? Justifique a resposta com base nos cálculos obtidos.

Passo 1

i) Falou em ciclo termodinâmico, a gente já lembra logo que as funções de estado não variam num ciclo completo!

Δ U c i c l o = 0

Lembrando a primeira lei da termodinâmica para o ciclo completo

Q c i c l o = Δ U c i c l o + W c i c l o

Obtemos que

Q c i c l o = W c i c l o

E como calcular o trabalho? É só calcular a área dentro do ciclo no diagrama P-V, ou, matematicamente:

W c i c l o = P d V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A área do triângulo é

W c i c l o = 2 V 0 - V 0 2 P 0 - P 0 2

Q c i c l o = W c i c l o = P 0 V 0 2

Passo 3

ii) Como o ciclo gira no sentido horário, no trabalho de maior módulo ( a b ) ocorre um aumento de volume, logo o trabalho é positivo e o calor também.

Ou seja, o sistema absorve calor e realiza trabalho: a definição de um MOTOR TÉRMICO.

Passo 4

iii) Vamos calcular a temperatura em cada um dos pontos. Para isso, basta lembrar da equação dos gases ideiais:

P V = n R T

T = P V n R

Aplicando em cada ponto

T a = P 0 V 0 n R

T b = 4 P 0 V 0 n R

T c = 2 P 0 V 0 n R

Passo 5

iv) O rendimento de uma máquina de Carnot é:

η C a r n o t = 1 - T F T Q

Onde T F é a menor temperatura, T F = P 0 V 0 / n R , e T Q a maior, T Q = 4 P 0 V 0 / n R .

η C a r n o t = 1 - 1 4

η C a r n o t = 3 4

Passo 6

v) Vamos calcular o calor nos processos:

No processo b c , a volume constante, o calor pode ser calculado como:

Q b c = n C V T c - T b

Q b c = n C V 2 - 4 P 0 V 0 n R

Q b c = - 2 C V R P 0 V 0

No processo c a , a pressão constante, o calor é:

Q c a = n C P T a - T c

Lembrando que C P e C V são relacionados da seguinte forma

C P = C V + R

Q c a = n C V + R 1 - 2 P 0 V 0 n R

Q c a = - C V + R R P 0 V 0

O processo a b não temos nada constante, nem pressão nem volume nem temperatura, por isso, vamos ter que usar o calor do ciclo:

Q c i c l o = Q a b + Q b c + Q c a

Como já temos tudo que precisamos basta substituir

P 0 V 0 2 = Q a b - 2 C V R P 0 V 0 - C V + R R P 0 V 0

Q a b = P 0 V 0 1 2 + 2 C V R + C V R + 1

Q a b = P 0 V 0 3 C V R + 3 2 = 3 P 0 V 0 C V R + 1 2 = 3 P 0 V 0 2 C V + R 2 R

Onde Q a b > 0 é absorvido e Q b c e Q c a < 0 são rejeitados pelo sistema.

Passo 7

vi) O rendimento do sistema é a razão entre o trabalho realizado ( W c i c l o ) e o calor absorvido ( Q a b ).

η = W c i c l o Q a b = P 0 V 0 / 2 3 P 0 V 0 2 C V + R 2 R = P 0 V 0 2 2 R 3 P 0 V 0 2 C V + R

η = R 3 ( 2 C V + R )

Dividindo por R em cima e embaixo,

η = 1 3 ( 2 C V R + 1   )

Temos que escrever isso em função de γ , lembre-se que

γ = C P C V = C V + R C V = 1 + R C V

C V R = 1 γ - 1

Substituindo no rendimento

η = 1 3 2 γ - 1 + 1 = 1 3 1 2 + γ - 1 γ - 1

η = 1 3 γ - 1 γ + 1

E isso é maior ou menor que o rendimento de Carnot?

Pra testar vamos fazer

η < η C a r n o t

Se isso for satisfeito então é menor!

1 3 γ - 1 γ + 1 < 3 4

γ - 1 γ + 1 < 9 4

4 γ - 4 < 9 γ + 9

- 13 < 5 γ

- 13 5 < γ

Como γ > 1 , já que γ = 1 + R / C V , então o nosso rendimento é menor do que o rendimento de Carnot!

Resposta

  1. Q c i c l o = W c i c l o = P 0 V 0 2

  2. Motor Térmico, pois Q c i c l o > 0 e W c i c l o > 0 .
  3. T a = P 0 V 0 n R , T b = 4 P 0 V 0 n R , T c = 2 P 0 V 0 n R

  4. η C a r n o t = 3 4

  5. Q a b = 3 C V R + 1 2 P 0 V 0 , absorvido.
  6. Q b c = - 2 C V R P 0 V 0 , rejeitado.

    Q c a = - ( C V + R ) R P 0 V 0 , rejeitado.

η = 1 3 γ - 1 γ + 1 < η C a r n o t

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