Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2017.1, Questão Q3

Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica Ω cujo vértice é o ponto V = ( 1 ,   0 ,   0 ) e cuja diretriz é a curva

γ : z = x 2 + y ² z = 1

Passo 1

a) Para que um ponto P = ( x ,   y ,   z ) esteja em Ω , deve existir um Q = ( u ,   v ,   w ) γ que seja colinear com o vértice V e com P , ou seja, V Q = λ V P . A equação de Ω é obtida a partir do sistema abaixo, onde a gente elimina os parâmetros u , v , w e λ .

u = 1 + λ x - 1 v = λ y w = λ z w = u 2 + v 2 w = 1

Daí temos que λ = 1 z ; z 0 , portanto 1 + x - 1 z 2 + y z 2 = 1 .

Como o vértice V = ( 1 ,   0 ,   0 ) não satisfaz essa equação (já que z deve ser diferente de 0), vamos multiplicar tudo por z ² , obtendo

z + x - 1 2 + y 2 = z ²

Agora, se z = 0 temos x - 1 2 + y 2 = 0 . A única solução disso é o ponto V = ( 1 ,   0 ,   0 ) . Então a equação de Ω é

x 2 + y 2 + 2 x z - 2 x - 2 z + 1 = 0

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Resposta

x 2 + y 2 + 2 x z - 2 x - 2 z + 1 = 0

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