Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P2 - 2018.1, Questão 1c

Calcular o coeficiente de correlação entre X e Y para o caso em que Y = - 0,7 X + 0,1 . Mostre todos os passos para se chegar ao resultado final partindo do coeficiente de correlação de X e Y .

Passo 1

Primeira coisa que percebemos quando batemos a cara aí é que essa equação é uma equação da reta:

Y = - 0,7 X + 1

Mais do que isso, é uma reta decrescente, porque o coeficiente angular é negativo. E nós sabemos que quando existe uma relação linear decrescente perfeita assim, nós temos um coeficiente de correlação igual a - 1 . Então:

ρ X , Y = - 1

Agora vamos partir disso aí e tentar provar alguma coisa, uma igualdade que valide nossa afirmação. Lembrando a fórmula do coeficiente:

ρ X , Y = C o v X , Y σ x σ y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos igualar essa fórmula ao - 1 :

C o v X , Y σ x σ y = - 1

C o v ( X , Y ) = - σ x σ y

Lembrando a fórmula da covariância:

C o v X , Y = V a r X + Y - V a r X - V a r ( Y ) 2

Reescrevendo a igualdade que fizemos usando a notação D P ao invés de σ , podemos dizer então que:

V a r X + Y - V a r X - V a r ( Y ) 2 = - D P X D P ( Y )

Guarda isso aí que agora temos que descobrir quanto vale essa galera!

Passo 3

Agora vamos forcar na nossa função original dada:

Y = - 0,7 X + 0,1

Vamos “aplicar” variância dos dois lados:

V a r Y = 0,49 V a r ( X )

Pelas propriedades das medidas de dispersão, o - 0,7 sai ao quadrado e o 0,1 vira zero. Então agora poderíamos escrever V a r ( Y ) em função de V a r ( X ) . Se nós tirarmos raíz quadrada dos dois lados, também temos que:

D P Y = 0,7 D P ( X )

Mas a equação que eu pedi para a gente guardar no passo anterior também tem um termo com V a r ( X + Y ) lá no meio. Para descobrir como escrever esse cara, vamos somar X dos dois lados da nossa função original:

X + Y = X - 0,7 X + 1

X + Y = 0,3 X + 1

Agora “aplicamos” variância dos dois lados de novo e...

V a r X + Y = 0,09 V a r ( X )

Passo 4

Agora vamos relembrar da equação que estamos guardando:

V a r X + Y - V a r X - V a r ( Y ) 2 = - D P X D P ( Y )

...E escrever tudo que tá aí dentro em função de X , com as igualdades que desenvolvemos no passo anterior:

0,09 V a r X - V a r X - 0,49 V a r ( X ) 2 = - D P X 0,7 D P ( X )

Simplificando isso aí:

- 1,4 V a r X 2 = - 0,7 D P ² ( X )

- 0,7 V a r X = - 0,7 D P ² ( X )

V a r X = D P 2 X V a r ( X ) = D P ( X )

Opa! E olha aí no que chegamos, acabamos de provar que o desvio padrão ao quadrado é igual à variância, ou que a raíz da variância é o desvio padrão, como vc preferir! O importante é que provamos que o coeficiente de correlação dessas variáveis é - 1 . =)

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