Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

A partir de uma variável aleatória U uniformemente distribuída sobre o intervalo [ 0 ,   1 ] , defina duas variáveis aleatórias X e Y da seguinte maneira:

X = 1 ,     s e   U ≤ 0,3 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o       e       Y = 1 ,     s e   U ≤ 0,6 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

(a) Obtenha a função de probabilidade conjunta do par ( X , Y ) .

(b) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique.

(c) Calcule C o v ( X ,   Y   ) .

(d) Calcule P ( X   =   1 | Y   =   1 ) e P ( Y   =   0 | X   =   0 ) .

Passo 1

a)

Sabemos que:

U ~ U n i f o r m e ( 0,1 )

Repara comigo, por exemplo, que nós também sabemos a probabilidade de X valer 1 , certo? Se X vale 1 quando U ≤ 3 ...

P X = 1 = P ( U ≤ 0,3 )

E para calcular a probabilidade de U , basta usarmos sua função de densidade que é dada por f u = 1 b - a = 1 1 - 0 = 1 . Ou seja, precisamos simplesmente integrar o número 1 para calcular nossas probabilidades!

Agora para as conjuntas...

Quando que X = 1 e Y = 1 ao mesmo tempo? Quando U for menor que 0,3 também! Pois se for maior, o nosso X zeraria. Usando esse mesmo raciocínio para as outras conjuntas...

P X = 1 , Y = 1 = P U ≤ 0,3 = ∫ 0 0,3 1 d u = 0,3

P X = 0 , Y = 1 = P 0,3 ≤ U ≤ 0,6 = ∫ 0 , 3 0,6 1 d u = 0,3

P X = 0 , Y = 0 = P U > 0,6 = ∫ 0,6 1 1 d u = 0,4

E P X = 1 , Y = 0 nunca pode acontecer, pois se X = 1 necessariamente Y = 1 também!

Então:

P X = 1 , Y = 0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Para verificar a independência, temos que garantir que isso é sempre verdade:

P X = x × P Y = y = P ( X = x , Y = y )

E se formos testando para todos os casos, vemos que quando X = 1 e Y = 0 , por exemplo, isso não é verdade, pois:

P X = 1 , Y = 0 = 0

P X = 1 × P Y = 0 = 0,3 0,4 = 0,12

Então as v.a.’s não são independentes.

Passo 3

c)

Calculando as esperanças de X e Y , que são v.a.’s de Bernoulli, e portanto tem sua esperança igual a probabilidade de assumirem valor 1 :

E X = P X = 1 = 0,3

E Y = P Y = 1 = 0,6

E a esperança conjunta:

E X Y = P X = 1 , Y = 1 = 0,3

Agora podemos calcular a covariância:

C o v X , Y = E X Y - E X E Y = 0,3 - 0,3 0,6 = 0,12

Passo 4

d)

Usando a fórmula da condicional:

P X   =   1 Y   =   1 = P ( X = 1 , Y = 1 ) P ( Y = 1 ) = 0,3 0,6 = 0,5

P Y   =   0 X   =   0 = P ( Y = 0 ,   X = 0 ) P ( X = 0 ) = 0,4 0,7 = 0,5714

Resposta

a)

P X = 1 , Y = 1 = 0,3

P X = 0 , Y = 1 = 0,3

P X = 0 , Y = 0 = 0,4

P X = 1 , Y = 0 = 0

b)

Não são independentes.

c)

0,12

d)

0,5         e       0,5714

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