Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

Probabilidade Conjunta

Considerando a população dos profissionais à busca de emprego em uma certa fatia do mercado de trabalho, há duas habilidades consideradas importantes para se ter sucesso: dominar o Inglês e dominar a Informática. Sabe-se que:

  1. a proporção de profissionais que dominam o Inglês é igual a proporção de profissionais que dominam a Informática (denote por p   essa proporção comum às duas habilidades);
  2. o número médio de habilidades por profissional é 1,4;
  3. a variância desse número de habilidades por profissional é 0,24.

Calcule:

  1. o valor de   p ;
  2. o coeficiente de correlação ρ   entre dominar o Inglês e dominar a Informática
  3. a proporção q   de profissionais que possuem ao mesmo tempo as duas habilidades.

Sugestão: Defina as variáveis aleatórias.

Passo 1

(a)

Vamos determinar nossas variáveis assim:

X : 1 ,               s e   o   p r o f i s s i o n a l   d o m i n a   i n g l ê s 0 ,                               c a s o   c o n t r á r i o                                                      

Y : 1 ,               s e   o   p r o f i s s i o n a l   d o m i n a   i n f o r m á t i c a 0 ,                                                         c a s o   c o n t r á r i o                                                      

E:

X + Y = número de habilidades que o profissional possui

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Passo 2

Os dados dos problemas nos dizem que:

  • proporção dos que dominam inglês é igual aos que dominam informática e é p .
  • P X = 1 = P Y = 1 = p

  • número médio de habilidades é igual a 1,4.
  • E X + Y = 1,4

  • variância do número de habilidades é 0,24

Var X + Y = 0,24

Passo 3

Se:

E X + Y = E X + E Y = 1,4

E como X e Y seguem uma distribuição de Bernoulli, onde só temos possibilidades de sucesso (1) e de fracasso (0).

E X = E Y = p

Var X = Var Y = p ( 1 - p )

Então:

p + p = 1,4

p = 0,7

E:

Var X = Var Y = 0,7 × 1 - 0,7 = 0,21

Passo 4

(b)

O coeficiente de correlação é dado pela fórmula:

ρ x y = Cov X , Y σ x ⋅ σ y

Como:

Var   X = Var Y = 0,21

σ x = σ y = 0,21

Passo 5

Um dos jeitos de calcular Cov ( X , Y ) é:

Var X + Y = Var X + Var Y + 2 ⋅ Cov X , Y

Pelo problema a gente sabe:

Var X + Y = 0,24

Var X = V a r Y = 0,21

Então:

Cov X , Y = 0,24 - 0,21 - 0,21 2

Cov X , Y = - 0,09

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula agora:

ρ x y = - 0,09 0,21

ρ x y = - 3 7

Passo 7

(c)

Agora é marotagem, se liga.

Vou chamar de X Y uma nova variável, onde:

X Y = 1 ,       s e   X = 1   e   Y = 1   0 ,       c a s o   c o n t r á r i o        

Ou seja, só tem sucesso, quando o profissional domina inglês e informática ao mesmo tempo. A gente sabe de acordo com o enunciado que a probabilidade disso acontecer é:

p = q

E que desse jeito, X Y também seguirá uma distribuição de Bernoulli, com E X Y = q .

Passo 8

Se usarmos a fórmula que aprendemos:

E X Y = Cov X , Y + E X ⋅ E Y

Podemos determinar o valor de q .

q = - 0,09 + 0,7 × 0,7

q = 0,4

Resposta

a   p = 0,7

b   ρ x y = - 3 7

c   q = 0,4

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