Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

Probabilidade Conjunta

Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 bolas vermelhas. Um experimento consiste em se extrair sequencialmente e sem reposição duas bolas e registrar suas cores. Seja X a v.a. que representa o número de bolas brancas retiradas nas duas extrações e seja Y a v.a. que assume 1 se a primeira bola extraída é branca e 0 se a primeira bola extraída é vermelha.

  1. Obtenha a distribuição conjunta de X   e Y através de uma tabela e diga se X   e Y são independentes, justificando. Sugestão: Na montagem da tabela, comece determinando as distribuições marginais de X   e de Y . Em seguida, obtenha P X = 0 ; Y = 1 e P ( X = 2 ; Y = 0 ) . Finalmente complete a tabela, respeitando as propriedades de uma distribuição conjunta.
  2. Calcule a covariância de X   e Y .

Passo 1

(a)

A gente tem que montar nossa tabela marota.

Primeiro vamos entender melhor o problema.

X : n ú m e r o   d e   b o l a s   b r a n c a s   r e t i r a d a s   n a s   d u a s   e x t r a ç õ e s

X pode assumir os valores: 0(se não sair nenhuma branca nas duas), 1 ou 2.

Y : 1   ,                         s e   a   p r i m e i r a   b o l a   é   b r a n c a 0   ,               s e   a   p r i m e i r a   b o l a   é   v e r m e l h a

Bom, vamos seguir os conselhos do exercício.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com as distribuições marginais.

Começando por Y .

P Y = 0 = 2 5

Já que são 2 bolas vermelhas, num total de 5 bolas.

P Y = 1 = 3 5

Já que são 3 bolas brancas, num total de 5 bolas.

Passo 3

Agora vamos fazer a distribuição marginal de X .

P X = 0 = 2 5 × 1 4 = 1 10

Já que pra não sair nenhuma bola branca, na primeira retirada tem que sair uma vermelha, 2 / 5 , e na segunda também tem que sair uma vermelha, 1 / 4 (lembrando que é sem reposição).

P X = 1 = 3 5 × 2 4 + 2 5 × 3 4 = 6 10 = 3 5

Pra sair no total 1 branca, temos duas opções: sair branca na primeira (3/5) e vermelha na segunda (2/4) ooou sair vermelha na primeira (2/5) e branca na segunda (3/4).

Pra finalizar.

P X = 2 = 3 5 × 2 4 = 3 10

Pra sair 2 brancas, tem que sair uma branca na primeira (3/5) e uma branca na segunda (2/4).

Passo 4

Seguindo os conselhos do exercício, vamos calcular agora:

P X = 0 ; Y = 1 =   ?

Probabilidade de sair bola branca na primeira retirada e no total não sair nenhuma branca. HAM? Impossível, concorda?

Então:

P X = 0 ; Y = 1 = 0

Agora calcular, P X = 2 ; Y = 0 =   ?

Também é impossível, certo? Não dá pra sair duas bolas brancas se na primeira retirada sair uma vermelha. Então:

P X = 2 ; Y = 0 = 0

Passo 5

Vamos montar a tabela com os valores que a gente já tem.

Completando a tabela, lembrando que o somatório das linhas e das colunas tem que ser igual aos valores da distribuição marginal, a gente ficará com:

Pronto, era isso que a gente queria.

Passo 6

Agora pra ver se são independentes é ver se existe algum caso que não verifique a seguinte afirmação.

P X = x i , Y = y i = P ( X = x i ) × P ( Y = y i )

Nesses casos é bom olhar pra exemplos que tenham 0 na tabela, fica mais tranquilo verificar. Por exemplo:

P X = 2 , Y = 0 = 0

P X = 2 × P Y = 0 = 3 10 × 2 5

Então,

P ( X = 2 , Y = 0 ) ≠ P ( X = 2 ) × P ( Y = 0 )

E com isso dizemos que X e Y não são independentes.

Passo 7

(b)

Pra calcular a covariância, vamos usar a fórmula.

C o v X , Y = E X , Y - E X × E Y

E X = 0 × 1 10 + 1 × 3 5 + 2 × 3 10 = 6 5

E Y = 0 × 2 5 + 1 × 3 5 = 3 5

E X , Y = 1 × 1 × 3 10 + 1 × 2 × 3 10 = 9 10

Substituindo na fórmula.

C o v X , Y = 9 10 - 6 5 × 3 5

C o v X , Y = 9 50

Resposta

a   n ã o   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

b 9 50

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