Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

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Enunciado

Considere a distribuição conjunta das variáveis aleatórias a seguir.

Pode-se afirmar sobre X   e   Y :

a) C o v X , Y   ≠   0 ;

b) C o v X , Y   =   0 ;

c) C o v X , Y   =   0 , logo são independentes ;

d) São dependentes.

Passo 1

Fala pessoal. Tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras, e para isso, nos é dada a distribuição conjunta de X   e   Y

Passo 2

Vamos lá, pessoal. Antes de verificarmos as afirmações. Vamos obter as distribuições MARGINAIS de X   e   Y . Mas como se faz isso mesmo?

Bem, para o caso discreto, a marginal de X   é dada por:

P X = x   =   ∑ y   P X = x , Y = y

Ou seja, ficamos um valor de X   e fazemos a soma nos demais valores de Y   .

De forma análoga, a marginal de Y   é dada por:

P Y = y   =   ∑ x   P X = x , Y = y

Com isso em mente, vamos calcular as marginais de X   e   Y

P X   =   0   =   1 5   ; P X   =   1   =   2 5   ; P X   =   4   =   2 5   (somamos a linhas da tabela de distribuição)

P Y = - 2   =   1 5   ; P Y = - 1   =   1 5   ; P Y = 0   =   1 5   ; P Y = 1   =   1 5   ; P Y = 2   =   1 5  

(somamos as colunas da tabela de distribuição)

Passo 3

Agora que calculamos as distribuições marginais, podemos começar a verificar as afirmações.

Vamos começar pela letra a)

Queremos verificar se C o v X , Y   ≠   0 . Bem a definição de covariancia é:

C o v X , Y   =   E X Y   -   E X E Y

Sendo assim, precisamos calcular   E X Y   e   E X E Y

Vamos começar pela E Y

(pela definição da esperança)

E Y   =   ∑ y = - 2 2 y P Y   =   y

=   1 5 - 2   - 1   +   0   + 1   + 2

= 0  

Opaaa, já não precisamos mais calcular E X , pois como

E Y   =   0 então

E X E Y   =   0

Passo 4

Vamos calcular E X Y .

Para isso, vamos verificar todos os possíveis valores de X Y   e somar as probabilidades para cada caso.

X Y   =   - 2   Ocorre se X = 1   e   Y   =   - 2 então P X Y   =   - 2   =   P X = 1 , Y = - 2   = 0  

X Y = - 1   O c o r r e   se   X = 1   e   Y = - 1   então   P X Y = - 1 = P X = 1 , Y = - 1 = 1 5

X Y = 1   O c o r r e   se   X = 1   e   Y =   1 então   P X Y = 1 = P X = 1 , Y = 1 = 1 5

X Y = 2   O c o r r e   se   X = 1   e   Y =   2 então   P X Y = 2 = P X = 1 , Y = 2 = 0

X Y = - 8   O c o r r e   se   X = 4   e   Y =   - 2 então   P X Y = - 8 = P X = 4 , Y = - 2 = 1 5

X Y = 8   O c o r r e   se   X = 4   e   Y =   2 então   P X Y = 8 = P X = 4 , Y = 2 = 1 5

X Y = - 4   O c o r r e   se   X = 4   e   Y =   - 1   então   P X Y = - 4 = P X = 4 , Y = - 1 = 0

X Y = 4   O c o r r e   se   X = 4   e   Y =   1   então   P X Y = 4 = P X = 4 , Y = 1 = 0

Como queremos calcular E X Y não precisamos verificar o caso onde X Y   =   0   , já que não terá influência na esperança.

Juntando os resultados acima temos que

E X Y   = ∑ x y   =   - 8 8 x y P X Y   =   x y

=   0   😊

Então temos que C o v X , Y   =   0

Passo 5

Pronto chegamos a conclusão que C o v X , Y   =   0 . Então a letra b) é verdadeira.

Falta verificarmos se X   e   Y são independentes, mas essa é fácil de verificar.

Se X   e   Y forem independentes. Então

P X = x ,   Y   =   y   =   P X = x P Y = y

Mas tome x   =   0 ,   e   y   =   - 2 . Então

(ao consultarmos a tabela)

P X = 0 ,   Y   =   - 2   =   0

(usando as marginais que calculamos no passo 2)

  P X = 0 P Y = - 2   =   1 25

Logo

⇒   P X = 0 ,   Y   =   - 2   ≠   P X = 0 P Y = - 2

O que implica que X   e   Y são dependentes.

Finalmente, terminamos mais uma questão. Chegamos a conclusão que as letras b) e d) estão corretas. Espero que os passos tenham ficado claros. E não se esqueçam, covariância igual a zero não implica independência, mas independência implica covariância nula.

Até a próxima questão!! Bons estudos 😊 .

Resposta

b) e d)

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