Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

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Enunciado

Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas com a seguinte função de probabilidade conjunta:

Pede-se:

Calcular a covariância de X e Y , C O V X , Y , e o coeficiente de correlação ρ x y detalhando seus passos para a obtenção de cada termo.

Passo 1

Bom, estamos trabalhando com um problema em que as nossas variáveis aleatórias são discretas, o que implica em possuir um conjunto finito de resultados, e além disto, este é um problema de probabilidade conjunta.

Probabilidade conjunta ocorre quando pelo menos 2 variáveis aleatórias afetam o problema. Como pode ser percebido no caso da questão, estamos trabalhando com as variáveis X e Y .

Antes de passarmos para o objetivo da questão, que é calcular a covariância de X e Y , e depois calcular o coeficiente de correlação ρ x y (mais adiante será deixado claro o motivo deste coeficiente ser calculado apenas depois), precisamos determinar dois parâmetros que a questão nos deu: as distribuições marginais y , p y e x , p x .

A ideia por trás da distribuição marginal é simples. Lembra que estamos com uma distribuição conjunta p x , y ? Então, imagina aí: o que aconteceria se a gente fixasse um determinado x e variasse o y ? Se somarmos todas essas probabilidades, obteríamos uma probabilidade p x deste nosso evento x acontecer.

Pronto, esta é uma ideia resumida da distribuição marginal. Mas sim, o que importa é como calcular. E como fazemos isto? Aí já é mais fácil ainda! É só nós somarmos as linhas (colocando o resultado final na última coluna a direita) e somarmos as colunas (colocando o resultado final na última linha abaixo).

Por fim, é basicamente acrescentar uma linha e uma coluna a tabela dada na questão. Portanto, temos:

Passo 2

Agora, vamos para a parte de cálculos em si! Começaremos pela covariância, ou seja, de uma forma simples, seria a média do produto dos desvios das nossas variáveis X e Y .

Mas o que importa mesmo é como calcular a covariância? E aí? Como fazer?

Para isto, podemos aplicar a seguinte relação:

C O V X , Y = E X Y - E X E Y

Mas o que seriam estas funções E X , E Y e E X Y ? Elas são as esperanças (a mesma ideia de uma média). Para calcularmos as esperanças, podemos utilizar as seguintes relações:

E X = ∑ i = 1 n x i p x i

E Y = ∑ j = 1 m y j p y j

E X Y = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n x i y j p x i , y j

Conseguem ver o motivo de termos obtido as distribuições marginais? Para calcularmos E X e E Y precisamos das probabilidades p x e p y . Então, nós nos adiantamos no problema!

Agora, vamos calcular primeiramente as esperanças E X e E Y . Portanto,

E X = ∑ i = 1 n x i p x i = 0 ⋅ 0.3 + 1 ⋅ 0.3 + 2 ⋅ 0.3 + 3 ⋅ 0.1 = 1.2

E Y = ∑ j = 1 m y j p y j = 0 ⋅ 0.4 + 1 ⋅ 0.4 + 2 ⋅ 0.2 = 0.8

Simples. Para calcular E X , pegamos o valor de cada X e multiplicamos pelo seu p x respectivo e depois somamos todos os termos. E o mesmo ocorreu para E Y .

Agora, vamos calcular E X Y . É importante tomarmos cuidado pois temos um somatório dentro do somatório. A ideia é trabalhar do somatório de dentro para o de fora. Então, vamos começar a expandir estes somatórios:

E X Y = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n x i y j p x i , y j = ∑ j = 1 3 ∑ i = 1 4 x i y j p x i , y j

E X Y = ∑ j = 1 3 x 1 y j p x 1 , y j + x 2 y j p x 2 , y j + x 3 y j p x 3 , y j + x 4 y j p x 4 , y j

E X Y = ∑ j = 1 3 0 ⋅ y j p 0 , y j + 1 ⋅ y j p 1 , y j + 2 ⋅ y j p 2 , y j + 3 ⋅ y j p 3 , y j

E X Y = ∑ j = 1 3 1 ⋅ y j p 1 , y j + 2 ⋅ y j p 2 , y j + 3 ⋅ y j p 3 , y j

Agora, vamos analisar o valor de cada j separadamente (seria o respectivo a cada linha da nossa tabela). Para j = 1 , temos:

1 ⋅ y 1 p 1 , y 1 + 2 ⋅ y 1 p 2 , y 1 + 3 ⋅ y 1 p 3 , y 1

1 ⋅ 0 ⋅ p 1 , 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ p 2 , 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ p 3 , 0

0 + 0 + 0 = 0

Já para j = 2 , temos:

1 ⋅ y 2 p 1 , y 2 + 2 ⋅ y 2 p 2 , y 2 + 3 ⋅ y 2 p 3 , y 2

1 ⋅ 1 ⋅ p 1 , 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ p 2 , 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ p 3 , 1

1 ⋅ 1 ⋅ 0.1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0.1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 0.1

0 . 1 + 0 . 2 + 0 . 3 = 0 . 6

Por fim, para j = 3 , temos:

1 ⋅ y 3 p 1 , y 3 + 2 ⋅ y 3 p 2 , y 3 + 3 ⋅ y 2 p 3 , y 3

1 ⋅ 2 ⋅ p 1 , 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ p 2 , 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ p 3 , 3

1 ⋅ 2 ⋅ 0.1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 0.1 + 3 ⋅ 2 ⋅ 0

0 . 2 + 0 . 4 + 0 = 0.6

Portanto, a esperança E X Y é:

E X Y = 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2

E agora podemos finalmente calcular a nossa covariância que é dada por:

C O V X , Y = E X Y - E X E Y

C O V X , Y = 1.2 - 1.2 ⋅ 0.8

C O V X , Y = 1.2 - 0.96 = 0.24

Passo 3

Agora, podemos partir para o cálculo do coeficiente de correlação ρ x y . No passo 1 foi dito que ele só poderia ser calculado depois da covariância. E isto decorre de um simples motivo, basta olhar a fórmula deste coeficiente:

ρ x y = C O V X , Y V X ⋅ V Y

Agora fica claro né? O coeficiente de correlação é função da covariância! E como já calculamos este termo, só nos falta as variâncias de cada variável aleatória V X e V Y .

Relembrando, calculamos as variâncias através das seguintes relações:

V X = ∑ i = 1 n x i - E X 2 p x i

V Y = ∑ j = 1 m y j - E Y 2 p y j

Portanto, agora é só expandirmos as nossas séries com os valores corretos de cada um dos elementos. Relembrando, E X = 1.2 , E Y = 0.8 e a nossa tabela:

Portanto, começando pela variância de X , temos:

V X = ∑ i = 1 n x i - E X 2 p x i

V X = x 1 - 1.2 2 p x 1 + x 2 - 1.2 2 p x 2 + x 3 - 1.2 2 p x 3 + x 4 - 1.2 2 p x 4

V X = 0 - 1.2 2 ⋅ 0.3 + 1 - 1.2 2 ⋅ 0.3 + 2 - 1.2 2 ⋅ 0.3 + 3 - 1.2 2 ⋅ 0 . 1

V X = - 1.2 2 ⋅ 0.3 + - 0 . 2 2 ⋅ 0.3 + 0.8 2 ⋅ 0.3 + 1.8 2 ⋅ 0.1

V X = 0.432 + 0.012 + 0.192 + 0.324

V X = 0.96

Já para a variância de Y , temos:

V y = ∑ j = 1 m y i - E Y 2 p y i

V Y = y 1 - 0.8 2 p y 1 + y 2 - 0.8 2 p y 2 + y 3 - 0.8 2 p y 3

V Y = 0 - 0.8 2 ⋅ 0 . 4 + 1 - 0.8 2 ⋅ 0 . 4 + 2 - 0.8 2 ⋅ 0 . 2

V Y = - 0.8 2 ⋅ 0 . 4 + 0.2 2 ⋅ 0 . 4 + 1.2 2 ⋅ 0 . 2

V Y = 0 . 256 + 0.01 6 + 0 . 288

V Y = 0 . 5 6

Por fim, basta substituirmos todos estes valores na fórmula do coeficiente de correlação. Ele é dado então por:

ρ x y = C O V X , Y V X ⋅ V Y

ρ x y = 0.24 0.96 ⋅ 0.56 = 0.3273

Resposta

C O V X , Y = 0.24

ρ x y = 0.3273

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