Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

Probabilidade Conjunta

Um jovem casal deseja ter dois filhos. Analisando as condições do casal, o médico afirma que a probabilidade deles terem dois meninos é de 40% e que a chance do primeiro bebê a nascer ser menina é 50%. O médico também informou que se o primeiro filho for menina, a probabilidade condicional do segundo ser menina é de 40%. Denotem as variáveis aleatórias por X i = 0 , se o bebê for menino e X i = 1 , se o bebê for menina no i-ésimo nascimento ( i = 1,2 ) . Encontre:

  1. A distribuição de probabilidade conjunta de X 1   e X 2 com suas distribuições de probabilidades marginais.
  2. A probabilidade do segundo filho do casal também ser um menino, dado que o primeiro foi um menino.
  3. A covariância entre X 1   e X 2 .

Passo 1

(a)

Vamos considerar assim.

X 1 : p r i m e i r o   b e b ê

X 2 : s e g u n d o   b e b ê

Denotando 0 pra menino e 1 pra menina, X 1   e X 2 só podem assumir esses dois valores, 0 ou 1.

O que o problema quer é que a gente monte nossa tabelinha.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos organizar as informações pra nossa tabela, de acordo com o enunciado.

A prob. de os dois serem meninos é de 0,4, então:

P X 1 = 0 , X 2 = 0 = 0,4

Prob. da primeira ser menina é 0,5:

P X 1 = 1 = 0,5

A última informação é:

P X 2 = 1 X 1 = 1 = 0,4

De cara a gente já pode pensar que se a prob. do primeiro ser menina é 0,5, então a prob. do primeiro ser menino é 0,5 também, concorda?

P X 1 = 0 = 1 - P X 1 = 1 = 1 - 0,5 = 0,5

Passo 3

Com a última informação do encunciado mais a fórmula da prob. condicional, a gente sabe que:

P X 2 = 1 X 1 = 1 = P X 2 = 1 , X 1 = 1 P X 1 = 1 = 0,4

Já sabendo que P X 1 = 1 = 0,5 .

P ( X 2 = 1 , X 1 = 1 ) = 0,4 × 0,5 = 0,2

Com isso a nossa tabela fica a princípio assim.

Passo 4

Vamos completar a tabela, bem tranquilo né? Só lembrar que a soma dos valores do interior da tabela tem que dar igual ao valor da distribuição marginal.

Exemplo: 0,4 + b = 0,5 → b = 0,1

A tabela completa ficaria assim.

Passo 5

(b)

Prob. condicional que o exercício pede é P ( X 2 = 0 | X 1 = 0 ) .

Aplicando a fórmula.

P X 2 = 0 X 1 = 0 = P X 1 = 0 , X 2 = 0 P X 1 = 0

É só pegar todos os valores da tabela.

Da distribuição marginal de X 1 .

P X 1 = 0 = 0,5

E:

P X 1 = 0 , X 2 = 0 = 0,4

Substituindo na fórmula.

P X 2 = 0 X 1 = 0 = 0,4 0,5 = 0,8

Passo 6

(c)

Temos que calcular C o v ( X 1 , X 2 ) .

Pela fórmula,

C o v X 1 , X 2 = E X 1 , X 2 - E X 1 × E ( X 2 )

Vamos calcular cada parcela aí.

Passo 7

Pra calcular E ( X 1 ) e E ( X 2 ) é só multiplicar cada valor possível dessas variáveis pelas suas respectivas probabilidades né ? Que ficam na distribuição marginal.

E X 1 = 0,5 × 0 + 0,5 × 1

E X 1 = 0,5

E X 2 = 0,7 × 0 + 0,3 × 1

E X 2 = 0,3

Já:

E X 1 , X 2 = 0 × 0 × 0,4 + 0 × 1 × 0,1 + 0 × 0 × 0,3 + 1 × 1 × 0,2

E X 1 , X 2 = 0,2

Lembrou ? Multiplica os valores possíveis das variáveis pelos valores de dentro da tabela.

Passo 8

Substituindo na fórmula da covariância.

C o v X 1 , X 2 = 0,2 - 0,5 × 0,3

C o v X 1 , X 2 = 0,05

Resposta

b   0,8

c   0,05

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