Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

UFRJ, Probest, P1 - 2015.1, Questão 4

Duas roletas idênticas, que podem resultar nos números 1 ,   2   e 3 com igual probabilidade, serão colocadas para rodar simultaneamente. Nesse contexto, defina as seguintes variáveis:

X   Menor número observado entre os resultados das duas roletas.

Y   Maior número observado entre os resultados das duas roletas.

  1. Construa a tabela da função de probabilidade conjunta de X e Y .
  2. Obtenha a distribuição condicional de Y dado X = 2 .
  3. Calcule a variância de Y - X .

Passo 1

Tá, a gente vai rodar as duas roletas, vamos primeiro observar quais seriam as possíveis combinações de resultados delas.

1,1   1,2   1,3   2,1   2,2   2,3   3,1   3,2   3,3

Foi? 9 resultados possíveis.

A tabela que a gente tem que montar é uma assim:

Lembrando que:

X   M e n o r   n ú m e r o   o b s e r v a d o   e n t r e   o s   r e s u l t a d o s   d a s   d u a s   r o l e t a s .

Y   M a i o r   n ú m e r o   o b s e r v a d o   e n t r e   o s   r e s u l t a d o s   d a s   d u a s   r o l e t a s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tá, vamos preencher isso aí. Os valores de dentro da tabela, cruzando as linhas com as colunas, são as interseções entre X e Y , certo?

Então, a primeira coisa que eu queria que você notasse é que tipo, cruzando por exemplo a linha 2 com a coluna 1 , eu estaria procurando a probabilidade do menor número observado ter sido 2 e o maior observado ter sido 1 ... isso é possível? Oo

Não né? Não dá pra o maior resultado ser 1 e o menor ser 2 se 2 > 1 .

A gente consegue concluir então que todas as interseções onde X > Y são impossíveis, certo? E assim a probabilidade será zero.

Passo 3

Agora vamos calcular as outras probabilidades de interseções:

P X = 1 Y = 1 = 1 9

Concorda? O único resultado favorável é o 1,1 que aí o menor resultado e o maior resultado são 1 .

P X = 1 Y = 2 = 2 9

Resultados favoráveis seriam: 1,2 e 2,1 .

P X = 1 , Y = 3 = 2 9

Resultados favoráveis seriam: 1,3   e 3,1 .

P X = 2 , Y = 2 = 1 9

Resultado favorável: 2,2 .

P X = 2 , Y = 3 = 2 9

Resultados favoráveis: 2,3 e 3,2 .

P X = 3 , Y = 3 = 1 9

Resultado favorável: 3,3 .

Lembrando que pra obter as marginais é só fazer a soma das linhas e colunas, tranquilo... fica assim a tabela:

Passo 4

(b)

A gente tem que calcular a condicional:

P Y = y X = 2 =   ?

Mas vamos ter três possibilidades né?

P Y = 1 X = 2 =   ?

P Y = 2 X = 2 =   ?

P Y = 3 X = 2 =   ?

Pra todas elas é tranquilo, é só dividir o valor da interseção (que é cruzar as linhas com as colunas) pelo valor da probabilidade total de X = 2 , que tá na marginal de X .

P X = 2 = 3 9

Passo 5

Assim, a gente tem:

P Y = 1 X = 2 = 0 3 9 = 0

P Y = 2 X = 2 = 1 9 3 9 = 1 3

P Y = 3 X = 2 = 2 9 3 9 = 2 3

É isso aí!

Passo 6

(c)

Temos que calcular V a r Y - X . Existe uma fórmula pra isso, que é:

V a r Y - X = V a r Y + V a r X - 2 . C o v X , Y

Lembrando que:

V a r Y = y i 2 . p y i - E Y 2

V a r X = x i 2 . p x i - E X ²

C o v X , Y = E X Y - E X E Y

Agora só calcular tudo, só conta, mas muita conta.

Passo 7

y i 2 . p y i = 1 2 × 1 9 + 2 2 × 3 9 + 3 2 × 5 9 = 58 9

x i 2 . p x i = 1 2 × 5 9 + 2 2 × 3 9 + 3 2 × 1 9 = 26 9

E X = 1 × 5 9 + 2 × 3 9 + 3 × 1 9 = 14 9

E Y = 1 × 1 9 + 2 × 3 9 + 3 × 5 9 = 22 9

E X Y = 1 × 1 × 1 9 + 1 × 2 × 2 9 + 1 × 3 × 2 9 + 2 × 2 × 1 9 + 2 × 3 × 2 9 + 3 × 3 × 1 9 = 36 9

Passo 8

Agora junta tudo:

V a r Y - X = 58 9 - 22 9 2 + 26 9 - 14 9 2 - 2 × 36 9 - 14 9 × 22 9

= 58 9 - 484 81 + 26 9 - 196 81 - 2 × 36 9 - 308 81

= 58 9 - 484 81 + 26 9 - 196 81 - 32 81

= 522 - 484 + 234 - 196 - 32 81

= 0,54321

Resposta

b   0   , 1 3   , 2 3

c   0,54321

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