Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

Probabilidade Conjunta – Variáveis Aleatórias Bidimensionais

Uma moeda equilibrada é lançada duas vezes. Uma cara é associada ao número 1 e uma coroa, ao número 0. O par de variáveis aleatórias ( X ,   Y ) é definido como:

X   = resultado do primeiro lançamento + resultado do segundo lançamento

Y   = resultado do primeiro lançamento − resultado do segundo lançamento

(a) Encontre a função de probabilidade conjunta do par ( X ,   Y ) .

(b) Encontre as distribuições marginais de X e Y .

(c) Calcule a covariância entre X e Y .

(d) X e Y são independentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

a)

Vamos primeiro organizar todos os valores possíveis que X e Y podem assumir. Começando pelo X , que é a soma dos resultados dos dois lançamentos:

P o d e m o s   t e r   C a r a + C a r a = 1 + 1 = 2 C a r a + C o r o a = 1 + 0 = 1   C o r o a + C o r o a = 0 + 0 = 0 C o r o a + C a r a = 0 + 1 = 1

Então X pode ser 0,1 ou 2.

Agora Y , que é a subtração dos resultados dos dois lançamentos:

P o d e m o s   t e r   C a r a - C a r a = 1 - 1 = 0 C a r a - C o r o a = 1 - 0 = 1   C o r o a - C o r o a = 0 - 0 = 0     C o r o a - C a r a = 0 - 1 = - 1

Então Y pode ser -1, 0 ou 1. Show, agora vamos resolver nossos itens!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Estamos num problema com V.A.s Bidimensionais Discretas e pediram uma função de probabilidade conjunta pra gente. Como assim?! A questão tá pedindo pra gente construir aquela tabela com as probabilidades conjuntas de X e Y ! Lembra dela?

Temos que completar o corpo dessa tabela então com os valores das probabilidades conjuntas. Vamos começar com o primeiro quadro, quando X = 0 e Y = - 1 , ou seja:

P ( X = 0 , Y = - 1 )

Nosso X é 0 quando tiramos duas coroas, e nosso Y é -1 quando tiramos uma coroa e uma cara. Então X nunca vai poder ser 0 quando Y é -1, nem vice-versa, porque são cenários diferentes! Então:

P X = 0 , Y = - 1 = 0

E quanto seria   P X = 0 ,   Y = 0 ? X e Y são zero ao mesmo tempo quando tiramos duas coroas! Então é possível de acontecer, e pra saber as chances, basta calcularmos a probabilidade de saírem duas coroas em dois lançamentos de uma moeda:

P d u a s   c o r o a s = 1 2 × 1 2 = 1 4

Então:

P X = 0 ,   Y = 0 = 1 4

Botando essas probabilidades na nossa tabela:

Seguindo o mesmo raciocínio vamos calcular o resto das probabilidades conjuntas:

P X = 0 ,   Y = 1 = 0 → impossível acontecer

P X = 1 ,   Y = - 1 = P u m a   c a r a   e   u m a   c o r o a = 1 4

P X = 1 ,   Y = 0 = 0 → impossível acontecer

P X = 1 ,   Y = 1 = P ( u m a   c a r a   e   u m a   c o r o a ) = 1 4

P X = 2 ,   Y = - 1 = 0 → impossível acontecer

P X = 2 ,   Y = 0 = P d u a s   c a r a s = 1 4

P X = 2 ,   Y = 1 = 0 → impossível acontecer

Agora põe essa galera toda na nossa tabela!

Passo 3

b)

Agora ele quer as probabilidades marginais, ou seja, essa última linha e última coluna que deixamos em branco na nossa tabela. E como calculamos elas?

Para achar uma marginal ao final de uma linha, basta somarmos todas as probabilidades conjuntas dessa linha. E para achar uma marginal ao final de uma coluna, basta somarmos todas as probabilidades conjuntas dessa coluna:

Para X :

P X = 0 = 0 + 1 4 + 0 = 1 4

P X = 1 = 1 4 + 0 + 1 4 = 1 2

P X = 2 = 0 + 1 4 + 0 = 1 4

E da mesma forma pra Y :

P Y = - 1 = 0 + 1 4 + 0 = 1 4

P Y = 0 = 1 4 + 0 + 1 4 = 1 2

P Y = 1 = 0 + 1 4 + 0 = 1 4

Relembrando que aquele 1 no cantinho é a probabilidade total, e sempre é 1!

Passo 4

c)

A Covariância é dada por essa fórmula aqui:

C o v X ,   Y = E X ,   Y - E X . E ( Y )

Vamos calcular nossa esperança conjunta E X ,   Y :

E X ,   Y = ∑ i = 1 n x i . y i . P ( x i , y i )

Pra poupar nosso tempo, vamos ignorar as colunas e linhas da tabela onde X ou Y valham zero, ou então quanto a probabilidade conjunta for zero, porque esses termos vão resultar uma soma zero no nosso somatório, o que não muda nada!

E X , Y = 1 - 1 1 4 + 1 1 1 4 = 0

Agora vamos calcular as esperanças individuais:

E X = 0 1 4 + 1 1 2 + 2 1 4 = 1

E Y = - 1 1 4 + 0 1 2 + 1 1 4 = 0

Dessa forma nossa Covariância de X e Y é:

C o v X ,   Y = E X ,   Y - E X . E Y = 0 - 1 × 0 = 0

Passo 5

d)

Para nossas variáveis serem independentes, as probabilidades conjuntas têm que ser iguais as probabilidades marginais associadas a ela! Ou seja:

P X = x , Y = y = P ( X = x ) × P ( Y = y )

E isso tem que ser verdade para TODAS as probabilidades conjuntas da tabela! Vamos testar.

Para nossas variáveis serem independentes, as probabilidades conjuntas têm que ser iguais as probabilidades marginais associadas a ela! Ou seja:

P X = x , Y = y = P ( X = x ) × P ( Y = y )

E isso tem que ser verdade para TODAS as probabilidades conjuntas da tabela! Vamos testar:

Resposta

Letra b)

Letra a)

Letra c)

C o v X ,   Y = 0

Letra d)

Não são independentes.

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