Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

Probabilidade Conjunta

Considere a distribuição conjunta das variáveis aleatórias X e Y , parcialmente dada pela seguinte tabela:

  1. Sabendo que P Y = - 1 X = - 1 = 1 / 3 , complete a tabela.
  2. Calcule E X Y ,   E X ,   E Y e C o v X , Y .
  3. As variáveis X e Y são independentes?
  4. Quando um exemplo pode ser usado para se mostrar que uma afirmação do tipo (SE... ENTÃO...) é falsa então dizemos que ele é um contra-exemplo para essa afirmação. Os itens anteriores constituem um contra-exemplo para que afirmação falsa?

Passo 1

Tem uns espaços da tabela que a gente consegue completar automático, sem nem usar a informação do item (a). Vamos começar completando eles então.

Lembra que a soma de cada linha dá o valor da última coluna (marginal de X ), e a soma das colunas dá a última linha (marginal de Y ) e que a somando a marginal de Y ou a marginal de X , ambas tem que dar 1 .

Sabendo disso, pensa comigo...

A gente pode começar somando a coluna do 1 e achando o valor da marginal de Y = 1 .

= 1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8

Também podemos descobrir esse " ? " da linha do " 0 " .

? + 0 + 1 8 = 2 8

? = 1 8

E a gente viu que o último quadradinho ali é 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa tabela passa a ficar assim:

Aproveitei pra chamar os outros pontos de interrogação de incógnitas, pra facilitar nossa vida.

Agora vamos a luta.

Passo 3

(a)

Esse item diz que P Y = - 1 X = - 1 = 1 / 3 e pede pra completar a tabela.

Vamos usar probabilidade condicional pra abrir isso aí.

P Y = - 1 X = - 1 = P Y = - 1 ∩ X = - 1 P X = - 1 = 1 3

E a gente conhece esses dois dados aí.

P X = - 1 é da coluna da marginal de X .

P X = - 1 = b

E P Y = - 1 ∩ X = - 1 é só cruzar a linha do X = - 1 com a coluna do Y = - 1 .

P Y = - 1 ∩ X = - 1 = a

Então a gente tem que:

a b = 1 3

b = 3 a

Mas isso ainda não significa nada pra gente, porque a gente não conhece nem " a " e nem " b " . A gente precisa de uma outra equação entre essas incógnitas.

Passo 4

Vamos achar outra relação entre elas então.

Se você reparar, " a " e " b " estão na mesma linha, isso nos dá uma outra relação, concorda? É só fazer a soma da linha.

a + 1 8 + 1 8 = b

a + 2 8 = b

Passo 5

Vamos juntar as duas equações.

b = 3 a

a + 2 8 = b

Substitui a primeira na segunda:

a + 2 8 = 3 a

2 a = 2 8

a = 1 8

Agora volta na primeira:

b = 3 a

b = 3 8

Passo 6

Tá, agora a gente vai achar todas as outras, só somando linhas e colunas.

Se a gente conhece " a " , podemos conhecer " e " .

a + 1 8 + 1 8 = e

1 8 + 1 8 + 1 8 = e

e = 3 8

Passo 7

Se a gente conhece " b " , podemos conhecer " d " .

b + 2 8 + d = 1

3 8 + 2 8 + d = 1

d = 1 - 5 8

d = 3 8

Passo 8

Conhecendo " d " , conhecemos " c " .

1 8 + c + 1 8 = d

c + 2 8 = 3 8

c = 1 8

Passo 9

Pra fechar, sabendo " c " , a gente acha o " f " .

1 8 + 0 + c = f

1 8 + 1 8 = f

f = 2 8

A tabela completa fica assim:

Passo 10

(b)

Vamos calcular as esperanças de X e de Y . Pra fazer isso é só a gente multiplicar os possíveis valores de cada um pelas suas respectivas probabilidades. Os possíveis valores dos dois são os mesmos: - 1 , 0,1 . E as probabilidades de cada um a gente tira das marginais. Desse jeito:

E X = - 1 × 3 8 + 0 × 2 8 + 1 × 3 8

E X = - 3 8 + 3 8 = 0

E Y = - 1 × 3 8 + 0 × 2 8 + 1 × 3 8

E Y = 0

Passo 11

Já pra fazer a esperança das duas juntas, E X Y , a gente multiplica todos os valores de X por todos os de Y e pelas suas interseções, que são os valores de dentro da nossa tabela.

Pegou a ideia? É meio que sair multiplicando geral, cruzando as linhas com as colunas.

E X Y = - 1 × - 1 × 1 8 + - 1 × 0 × 1 8 + - 1 × 1 × 1 8 + 0 × - 1 × 1 8 + 0 × 0 × 0 + 0 × 1 × 1 8 + 1 × - 1 × 1 8 + 1 × 0 × 1 8 + 1 × 1 × 1 8

Fazendo essa conta doida aí, fica:

E X Y = 0

Passo 12

Pra fechar, a covariância, que é dada pela fórmula:

C o v X , Y = E X Y - E X E Y

C o v X , Y = 0

Foi?

Passo 13

(c)

Qual o critério pras variáveis serem independentes?

P A ∩ B = P A × P B

Certo? Então a gente tem que verificar se isso é verdade pra todos os casos na nossa tabela.

P A e P ( B ) no caso seriam nossos P X = x i e P Y = y i que estão nas marginais e a interseção ali, P A ∩ B , seria nosso P X = x i ∩ Y = y i que são os valores do interior da tabela.

A gente tem que procurar um exemplo que não obedeça ao critério, que aí já podemos dizer que não são independentes.

Óh:

P X = 0 ∩ Y = 0 = P ( X = 0 ) × P Y = 0

Vamos verificar se isso é verdade, pela tabela:

P X = 0 ∩ Y = 0 = 0

P X = 0 = 2 8

P Y = 0 = 2 8

Visivelmente não é verdade, beleza? Então as variáveis não são independentes.

Passo 14

(d)

Os itens anteriores nos dizem uns dados importantes. Primeiro a gente tem que as variáveis não são correlacionadas já que:

C o v X , Y = 0

E ao mesmo tempo a gente sabe que elas não são independentes!

Mas pera! Se X e Y são independentes então eles não são correlacionados, justo? Se duas variáveis não dependem uma da outra então elas não se relacionam.

Só que é exatamente isso que a gente não tem na questão haha... aqui a gente tem duas variáveis que não são independentes e ao mesmo tempo não são correlacionadas. Duas variáveis que dependem uma de outra, mas não se correlacionam.

Então:

“Se X e Y são independentes então X e Y são não correlecionadas” é uma verdade, maaas, sua recíproca não é verdadeira.

Resposta

b   E X = E Y = E X Y = C o v X , Y = 0

c   n ã o   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

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