Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 216 - 17

O exemplo a seguir ilustra que ρ = 0 não implica independência. Suponha que (X,Y) tenha distribuição conjunta dada pela tabela abaixo.

a) Mostre que E(XY)=E(X)E(Y), donde ρ = 0

b) Justifique por que X e Y não são independentes.

Passo 1

a) Mostre que E(XY)=E(X)E(Y), donde ρ = 0

Sabemos que E X Y = x i y j P ( x = x i , y = y j )

Então

E X Y = - 1 - 1 1 8 + - 1 0 1 8 + - 1 1 1 8 + 0 1 1 8 + 0 0 0 + 0 1 1 8 + 1 - 1 1 8 + 1 0 1 8 + 1 1 1 8

E X Y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular agora E(X) e E(Y):

E X = - 1 1 8 + 0 1 8 + 1 1 8 = 0

E Y = - 1 1 8 + 0 1 8 + 1 1 8 = 0

Assim

E X E Y = 0

Passo 3

Comparando, temos

E X Y = E X E Y = 0

Como querímos demonstrar.

Passo 4

b) Justifique por que X e Y não são independentes.

Uma forma de verificar se X e são independentes ou não é verificando se

P X = x i , Y = y j = P X = X i × P ( Y = y j )

Temos que testar TODAS as possibilidades. Se apenas uma não for válida podemos dizer que elas não são independentes. Pela tabela fica beeem mais tranquila a visualização.

Vamos direto no P X = 0 , Y = 0 , pois este vale 0 então é alta a chance de ele falhar.

P X = 0 = 1 8 + 0 + 1 8 = 2 8

P Y = 0 = 1 8 + 0 + 1 8 = 2 8

P X = 0 , Y = 0 = 2 8   . 2 8 = 4 64

Como P X = 0 , Y = 0 P X = 0 . P Y = 0 podemos afirmar que X e Y não são independentes.

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